Fibonacci-rummet - en arbejdsnote

Symposion

Af Peter Brask

I nutids musik af den udspekulerede type er der en talserie, som har været særlig brugt til organisering af varigheder. Den fascinerer ved sin forbindelse med vækstforhold i naturen og med »det gyldne snit« i kulturen. Her vil vi forklare forbindelsen mellem serien og snittet; dernæst vise, hvordan der er uendeligt mange serier med samme princip for frembringelsen - og endelig nævne nogle simple forhold, som forbinder serierne indbyrdes. Alt sammen materialer til komponistens værksted.

Talserien:

1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144...

frembringes ved reglen: Hvert ciffer er summen af de to foregående, og de to første cifre er (1,1).

Det er Fibonacci-serien, efter Leonardo fra Pisa, købmand og regnemester, kaldet Fibonacci. Hans Liber abacci er bevaret i andenudgaven fra år 1228. Han æres for indførelsen af arabertallene i europæisk regnekunst - hvilken lettelse!

Det gyldne snit og Fibonacci serien

Snittet er en håndværksregel for todeling af et linjestykke: Del, så det Hele forholder sig til det Store, således som det Store til det Lille! Et sandt feudal-hierarkisk princip! Man aner renæssancens (og vor tids?) mikro-makro-kosmologi bag ideen. Men interessen er ikke kun abstrakt-ideologisk. Flader og rum, som formes ved denne regel, virker æstetisk tiltalende på de fleste; tabeller over »klummer« med det gyldne snit findes stadig i typografiske håndbøger. Snittet kan let laves med passer og lineal, så det har sikkert været kendt i oldtiden. Men lad os se på dets talmæssige egenskaber. Det store stykke (b) skal være mellemproportionalen mellem det hele (a+b) og det lille stykke (a):

(a+b) : b = (b:a).

Vi kan sætte hele stykkets længde til 1. Da er a = 1-b, og forholdene er:

(l:b) = (b:(l-b)).

Ganger man over kors, får man b2 = 1-b. Og løses denne ligning, finder man

Det sidste kan forstås således, at hvis hele linjestykket har længden 2, skal det store delstykke være (-1 + V5). Herpå beror nu den konstruktion med passer og lineal, vil vil beskrive. Først tegner vi en retvinklet trekant. Den ene side ved den rette vinkel skal have længden l og den anden længden 2. Med passeren føres længden l over på trekantens længste side:

Derefter føres længden, som er »resten« af den længste side minus l, over på den tredje side - den med længde 2. Det punkt, som herved findes på 2-siden, deler da denne efter det gyldne snit.

Forklaringen ligger i Pythagoras' sætning om retvinklede trekanters sider: kvadratet på den største side er summen af de andres kvadrater. Denne sum er her l2+22=5. Den største side har da længden V5""- Ved første trin delte vi denne side i stykkerne l og V5~-l (som det er mere skrivesikkert at notere: -1 + V5). Dernæst flyttede vi længden (-1 + V5) over på siden med længden 2, hvorved denne blev delt. Forholdet mellem hele denne side og det overførte stykke er da netop 2:(-l +V5), altså snittets. Grækerne udførte sådanne konstruktioner - men ville ikke kendes ved tal som V5"". De kan ikke skrives som brøker dannet af de naturlige tal. Det var en skandale. Man kaldte slige tal »unævnelige« - og dét var også moralsk ment. Proklos (i 5. årh. e.Kr.) fortæller

at de, der først bragte de irrationale størrelser frem i det åbne fra fordølgelsen, omkom ved skibbrud, alle som én. For det uudsigelige og det formløse må nødvendigvis hemmeligholdes. Og de, der afslørede og omtalte dette billede aflivet, blev øjeblikkeligt tilintetgjort og vil for altid være underkastet de evige bølgers spil.

Men at udsige det uudsigelige og sætte skik på det formløse har stedse været mål for kunst og videnskab, - trods eder og forbandelser. Der er en lang historie om, hvordan man gennem århundreder har gjort tilnærmelser til disse uanstændige tal. (Den læses i T. Danzig: »Tallet - videnskabens sprog. 1964, hvorfra Proklos citeredes). Og her kommer Fibonacci ind igen. Det gyldne snits kvotient (l:b) kan skrives unøjagtigt som decimaltallet

1,618034...

Der kan føjes cifre til i uendelighed, uden at tallet rammer kvotienten. Laver man brøker af fibonacci-tallene:

12358 fn-M

_,_,_,_,_,...,__,...

så nærmer deres værdier sig slingrende til kvotienten. Den niende brøk er 55/34, lig 1.6176, og den tiende er 89/55, lig 1.6181. Men efter matematikeres mening er tilnærmelsen ikke blandt de bedre af den slags. Lidt af auraen om snit og Fibonacci-serie blegner derved. Dog - brugelighed er vigtigere end aura. Og vi bruger jo tallene som varigheder. Sætter man 1/16 lig Fibo-nacci-cifferet l, så er listen:

Men kan det høres? Hører man, at en tone netop varer fem gange en andens tid? Det kræver nok lidt special-træning - men spørgsmålet er stillet galt. Proportionerne behøver ikke høres som sådanne. De virker til opbygning af den musikalske helhed, og den er oplevelig. De er nødvendige forudsætninger - dér hvor de bruges. Og at bruge dem inciteret og uhæmmet - ja det er komponistens sag.

Fibonacci-serien er vist herhjemme brugt bl.a. af Nørgaard og Gudmundsen-Holmgreen. Men jeg vil ikke analysere værker her; jeg giver et enkelt, hjemmegjort eksempel, se figur 1. F-varigheder er koblet med en tolvtonerække. (Bemærk dens intervalegenskaber). -Men nu videre til vort hovedærinde: udvidelsen med flere serier.

Fibonacci-rummet

Vi ønskede serier med tal, som ikke fås i Fibonaccis serie, men som har samme bygge-regel: Hvert ciffer summen af de to foregående. Denne regel kan fodres med hvilke som helst to tal. I grunden brugte vi jo brøker lige før: 1/16, 1/16, 1/8, ... Negative tal kan også bruges - men de kan næppe tolkes som varigheds-angivelser. Ville man derimod bruge F-rækker til angivelse af (kromatiske) intervaller, så ville et negativt tal kunne stå for et nedadgående interval. Men denne mulighed vil vi ikke tage op her. - Vigtigt bliver, at tallet O også kommer med. Det gør det muligt at lave simple regneregler inden for mængden af serierne. Og de kan gøre nytte ved komponeren. Vi må begynde med lidt skrive-vedtægter.

Vi kalder alle serier efter reglen for F-serier. Den serie, som begynder med (x,y), noterer vi F(x,y). Fibonaccis serie er da F(l,l). Det n'te led i F(x,y) skriver vi fn(x,y). Det ordnede par (x,y) kaldes grundtal for F(x,y).

Eksempler

F(2,3) = 2,3,5,8, ...; F(3,2) = 3,2,5,7,12, ... Bemærk at ordenen af de første cifre gør forskel: (x,y) og (y ,x) giver forskellige serier, når x er forskellig fra y.

Vi vil først opskrive de enkleste og grundlæggende F-serier, se figur 2 (næste side). Vi giver dernæst regler og formler. Vi noterer mest serier med hele positive tal, men regler og formler gælder også for positive og negative tal og for ægte brøker. Vi begynder med at definere addition.

Addition af to F-serier: Led på ens pladser lægges sammen.

Eksempel

F(2,3) + F(4,l) = (2,3,5,8, ...) + (4,1,5,6, ...)

= 2+4, 3 + 1,5+5, 8+6, ...

= 6,4,10,14, ...

Det er seriernes grundtal, som bestemmer summens serie. Alment har vi

F(a,b) + F(c,d) = F(a+c,b+d)

(formel I)

Det er let at efterprøve at de almindelige krav til addition holder i F-mængden (dette udelades). Mærk at den anførte sum i formel l lige så vel fås ved

F(a,d) + F(c,b) = F(a+c,b+d)

(formel 2)

Men foruden disse duale opløsninger vil der for hvert F(x,y) være andre opløsninger i addender; antallet af dem afhænger afgrundtallenes størrelser. Vi nøjes med eksempler herpå:

F(l,l) = F(0,l) + F(l,0).

F(2,3) = F(2,0) + F(0,3) = F(l,l) + F(l,2) = F(2,l) + F(0,2).

F(3,4) = F(3,3) + F(0,l) = F(3,2) + F(0,2)

= F(3,l) + F(0,3) = F(2,2) + F(l,l)

= F(2,2) + F(l,2) = F(2,l) + F(l,3).

Sådanne identiteter kan benyttes i komponeren. Her er mange muligheder. En varighedkæde kan deles i to kortere. Opløses en kæde i to, kan man lade den ene gælde toner, den anden pauser; hver kæde svarer til en F-serie, og deres sum er en F-serie. Man kan lade forskellig'e serier med ens summer være tonekæder, som går i hver sin stemme i en polyfon sats. Et udsnit af en valgt F-serie kan give den ene stemmes varigheder, og tilsvarende udsnit af dens addend-serier i forlængelse af hinanden kan give de andre stemmers varigheder, l figur 3 er der sat en tilfældig valgt tonerække på varighedskæderne, blot for at lette læsningen. Bassens varigheder er de fire første led af F(3,4). Mellemstemmens varigheder er de fire første led af F(l,2) fulgt af de fire første af F(2,2). Og i diskanten bruges de fire første værdier i hhv. F(2,3) og F(l,l).

Vi definerede addition ovenfor. Subtraktion af en F-serie fra en F-serie er analog med additionen:

F(a,b) - F(c,d) - F(a-c, b^d). (formel 3)

Multiplikation af en F-serie med et tal, a, foretages ved at man ganger hvert led i serien med a:

a P = af i, aÍ2, ah, ..., flfn, ... (formel 4)

Multipliceringen ændrer ikke proportionerne inden for F, så man har også:

o F(x,y) = F(#x, Æ y). (formel 5)

Division af en F-serie med a er jo blot multiplikation med l la:

±F(x,y)=F(f ,J). (formelo)

Vi vil vise, at hvert F(x,y) kan udtrykkes ved de i figur 2 nævnte grundlæggende serier. Vi sætter y=0 og lader x løbe 1,2,3, ... Da får vi F(l,0), F(2,0), F(3,0), ..., F(x,0), ... Hver serie fremgår af den foregående ved addition af F(l,0). Tilsvarende fås for x=0 og y=l,2,3... serierne F(0,l), F(0,2), ..., F(0,y), ... Her er addenden F(0,l). Vi har altså:

F(x,0) = x F(l,0) og F(0,y) = y F(0,l) (formel 7) Og følgelig også:

F(x,y) = x F(l,0) + y F(0,l) - F(x,0) + F(0,y).

(formel 8)

Hver F-serie kan således entydigt opløses i en x-kom-ponent og en y-komponent.

Eksempel.

F(3,4) opløses i F(3,0) = (3,0,3,3,6, ...)

= 3 • (1,0,1,1,2, ...)

og F(0,4) = (0,4,4,8,12,...) = 4 - (0,1,1,2,3, ...).

Sådanne opløsninger kan musikalsk udnyttes i lighed med de ovenfor nævnte. Tolkningen af værdien O må vel afhænge af, hvorledes serierne i øvrigt tolkes. Ved (3,0,3,3,...) kunne O være »intet«, således at vi tre gange i rad fik varigheden 3, hvad man ellers ikke vil få. Ved (0,4,4,...) kunne O betyde, at serien må afvente forløbet af varigheden x=3 i serien (3,0), før den selv begynder. Men der vil sikkert være andre muligheder. Vi bemærker, at multipliceres to serier indbyrdes: led for led, vil produktet ikke være en F-serie. Dette udelukker dog ikke, at der i mængden af F-serier kunne være en algebraisk kompositionsregel, som kunne fungere analogt med multiplikationen inden for de »almindelige« tal. Men vi lader dette emne ligge. Ud fra formel 7-8 kan vi angive værdien af det n' t e led i F(x,y):

fn(x,y) = xfn(l,0) + yfn(0,l) (formel 9)

Eksempel

Det ottende led i F(7,5) fås fra fs(l,0)=8 og

fs(0,l)=13 som (7 -8) + (5-13) = 121.

Da vi bruger serierne til varighedskæder, er det nyttigt at have udtryk for summen af de n første led i en serie. Vi betragter seriernes fælles form:

F(x,y) = x, y, x+y, x+2y, 2x+3y, 5x+8y, ...

(formel 10)

De løbende tal foran x og y er også F-tal, som vi kan udtrykke som led tilhørende F(l,l). Derved kan summen skrives:

For de grundlæggende serier får sumformlen specielt mere enkle udtryk:

For F(x,y) gælder:

fi+f2+ ...+fn = xfn(l,l) + y1

• 1. (formelll)

  Eksempel

  Summen af led l til 7 i F(5,9) findes af fy = 13 og fs=21 i F(l,l) som (5-13) + (9- (21-1)) = 65 + 180 =245. Sammenlign med 5+9+14+23+37+60+97.

  Serie Sum af n første led

  F(0,0) O (Formel 12.1)

  F(l,0) fn(l,l) (12.2)

  F(0,l) fn+i(l,l)-L (72 Jj

  F(l,l) fn+2(l,l H (12.4)

  I Fibonaccis oprindelige serie, F(l,l), gælder altså, at summen af de n første led er lig det (n+2)'te led minus 1.

  LITTERATUR

  Vorob'ev: Fibonacci Numbers. Pergamon Press, N. Y. 1961. Ghyka: The Pythagorean and Platonic Scientific Criterion of the Beautiful in Classical Art. i: F.C.S. Northrop: Ideological Differences and World Order. Yale 1949. Hof Stadt er: Gode l, Escher, Bach. Penguin Books 1980.

  I næste nummer skriver Per Nørgård om det gyldne snit.