Henimod en optimal økonomisk signalsystematik

Energi-teoretiske refleksioner udfra sidstesatsen af violinkoncerten ""Helle Nacht"" (1986-87)

Af Per Nørgård

1.1 Der forudsættes et vibrationsfelt af konstant super- og subharmonisk brydning henh. underdeling: l, 1/3, 1/9, 1/27 etc. og l, 3, 9, 27 etc.

1.2 (Brydning henh. underdeling af 2-potenser og øvrige w-lige tal er i denne forbindelse mindre relevante, da kun 3-relationer har den dobbelte egenskab af maximal (optimal) enkelhed, forbundet med ikke-oktav-transpositioner: 3-relationer-nes kvintbeslægtetheder fører i hver transposition til ""nye udsigter"", mens oktaverne kun gentager den udtrykte position i nye registre.)

1.3 De henh. super- og subharmoniske brydninger/underdelinger foregår i et lukket d.v.s. reflekterende univers, hvor ""grænserne"" udtrykker sig i konstante tilbagekomster til dybe henh. høje oktavregistre, der tillader fortsættelse af processerne: l -» 1/3 -» 1/9 -» 1/27 -» 1/81 -» l/3n = l (og l -» 3 -H»9 etc. til 3n = 1). Denne proces forestilles som en resonans effekt, hvor dybere oktaver konstant ""vækker"" de højere og vice versa.

1.4 Kvintfølgen medfører for hver 12. fase en forøgelse (henh. reduktion) af udgangsvibrationens ratio på 1/54,5454 . . . af en oktav (= ""detpy thagoræiske komma"", 22 % af én 12. del oktav, ""l halvtone""). Efter 27 * 12 faser nås halvoktaven. Ved forestillingen om fælles ratio som udgangspunkt for super- og subharmoniske forløb vil fælles ratio altså etableres på 28 * 12. fase, hvor de 2 halvoktaver summerer sig til én oktav.

l.5 Underdelingen af oktavkontinuet i 12 diskrete frekvenser er givet gennem de 12 kvinters oplevelse som ""12 halvtonetrin"", m.a.o. opleves efter 5 * 12 faser ""ankomsten"" på et højere (henh. lavere) halvtonetrin ( 5 * 22 % = 1 10 % af en halvtone = V2/12).

l.6 Som høreoplevelse vil konstellationen af en given sekvens af 12 frekvenser, der skiftevis udviser super- og subharmonisk adfærd, tilbagekomme i halvoktav-transposition på 7. halvtrin, altså efter 6 ""halvtone-oplevelser"".Denne ""givne sekvens"" begrundes i det følgende.

1.7 Resonans-fænomenet viser sig oktavmæssigt som nævn t, men også som felt af super- & subharmonisk natur udfra flg. konfiguration 7 af vibrations-frekvensers ratioer, hvoraf de 2 er ""oktav-ramme"" (6: 12) : 6, 6 2/3, 7.2, 8, 9, 10, 10.8, 12 modsvarende flg. super- og subharm. treklangkonfigurationer: De omringede cifre er enten ""grundfrekvens"" for en superharmonisk treklang eller ""fokus-frekvens"" for en subharmonisk do. De med pil markerede konfigurationer udgør en tilnærmelse til de iøvrigt præcise proportioner af enten 12/10/8 (6/5/4) eller 9/7.2/6 der modsvarer ligningerne 6 : 8 = 9 : 12og6 : 9 = 8 : 12. De med? forsynede pladser gemmer frekvenser, der hvis de manifesteredes ville ""sprænge"" den viste orden og etablere en ny og tusvarende henh. 1/3 over eller under den viste i = ""modulation til dominant eller subdominant""), nemlig henh. 7.5 og 9.6. Noteret i musikens femlinie-systern: (""grund""- og ""fokus""-toner er hvide)

1.8 Heri genkendes den diatoniske 7-toneskala og dennes immanente resonansrum; i den 2. og 7. vil akkorden rumme svævninger.

1.9 Hermed er imidlertid kun foretaget første proces henimod den (1.6) omtalte sekvens, der vil udgøres af 4 * 3 af de viste frekvensproportioner, nemlig 2 super- og 2 subharmoniske ""grund""- og ""fokus""-tonekomplekser i halvoktavaf-stand:

I

2.1 Ved at lade disse 4 3-tonekomplekser manifestere sig skiftevis opstår den (i §1.6) omtalte sekvens, noteret i et snævert oktavfelt:

2.2 Til den retrograde manifestation af III- og IV-komplekseme svarer en ""anti-resonans"", der lader III være sub-harmonisk og IV være superharmonisk. Dette muliggør en trinvis følge afbrudt kun af halvoktav-spring 2 gange.

2.31 Denne disposition lader :A ~ ""komma""- henh. -opstigninger og - | sænkninger foregå vekselvis. Til inver- ' sionen hører 3-tonekompleksernes manifes tations-sekvens:

2.33 På planchen (se tillæg på midtersiden) angiver de gule og røde komplekser opadstigende, blå og grønne nedadgående tendenser. De ""halsløse"" noder er funktioner af hovedtonerne, fragmenterede °o-rækker.

2.34 Ved scanning af planchens 432 noder vil stadig mere forgrenede strukturer manifestere sig, alt efter de konstante tempofald fra et maximum, der kun lader de to halvoktav-""toppe"" manifestere sig (i ""Helle Nacht"" transponeret én heltone ned p.g.a. instrumental-praktiske grunde), hvorefter cyklerne suser igennem halvtone-stigninger & -fald i stadigt aftagende tempo og i samtidig 3-deltfor de(n) stigende og 2-deltfor de( n )faldendelmi Q(r). Derved ops tår manifestationer af henh. 113-oktav-stigninger og 114-oktav-fald. Ved fortsat tempoaftagen forgrener melodiken sig til stadig mere uforudselige former indtil sekvensen (2.32) viser sig. SIGNALSYSTEMATIK

2.35 Forløbet aftegner sig således: T (Stigende): i (Faldende): Partiturets s. 40. l manifesterer det næstsidste stadium før ""sekvensens"" (2.32) etablering (part. s. 41.3 (cello)), hvor sekvensens 1. tone endnu er en halvtone under, dens 2. tone en halvtone over sekvensens 1. intervals heltone.

2.4 Det konstant aftagende tempo forestilles nu nået til en ""perceptiv illusion"" af stabilitet, hvor det flg. forløb kun ved de periodisk med relativ stor tidsafstand manifesterede halvtone-stigninger/-fald afslører at der i princippet ikke er nogen afbrydelse af den igangsatte ritarderings- og prolifererings-proces. Imidlertid indtræder i dette ""nødvendige forløb"" en ""tilfældig hændelse"", hvis indføjning får konsekvenser for resten af værket! Først bliver der imidlertid (helt til part. s. 49) rig lejlighed til at botanisere i sekvensens indre fleksible organismer, hvor de 4 3-tonekomplekser afløser hinanden i en ""skæv vals"": l l ...2...3...I 1...2...3 ...l !.. (rød) | l ... 2 ... 3 ... l l ... etc. (blå) hvor altså det tidligere grundslag nu bliver efterslag (og den tidligere optakt bliver grundslag) o.s.v.: Den ""skæve vals"" i 3/2 med den karakteristiske 3/8. Første takt begynder med ""rød"" g, næste med f og 3/8 med c. Derefter 3/2 med ""blå"" h, etc. (jvf. tillæg). I de triolis-er ede 4.-dele ses g -f-c o°-rækken i 9 gange tempoet.

III

3.1 Den i det forrige afsnit omtalte proces beriges med et ""tilfældigt"" tema, der optrådte 1. gang i l.sats - her kaldet ""Den vilde brud"". Dets flertydighed viser sig ved at den kun 9 toner lange cyklus i det mindste har 5 perceptions-former, afhængigt af cyklus'ens segmentering via betoninger: (""hvide noder"" med hals angiver pulsbetoninger).

3.2 Ved en ""rystelse"" i denne lukkede, periodiske dannelse (forvandlet til ""Den rystede Brudgom""!) smidiggøres temporelationerne fra de hidtidige 2 : 3 til 3 : 5 : 8 (part. s. 50).

3.3 Herved skabes en konstellativ sideorden (i modsætning til ""sekvensens"" samorden eller til °°-seriens processuelle logik) der muliggør 3 i princippet helt uafhængige forløb, der ved strukturens ""hullede"" natur konstant kan syntetiseres til perceptuelle totaliteter (jvf. dens udspring i netop ""Den hvide Brud"", hvis 3 latente registerlag ikke forhindrede en samlet oplevelse af dens 9-toneform som ""melodi"").

3.4 Imidlertid fordres, blot for etableringen af de 3 baner i 3 : 5 : 8 -relationen, 16 ansatser (imod ""Den h vide Bruds"" 9 ! ). Her kommer oo-serien første gang (el. rettere 2. gang, hvis man medregner ""sekvensens"" forgrening i 3'ere!) til hjælp: De resterende pladser i 3 : 5 : 8 - strukturen udfyldes af toner, der lader den samlede manifestation opfattes som 3 uafhængige °o - serier, baseret på 3 ""frie"" (= ""tilfældige"") 4-toneinitialer:

3.5 Der er 3 perceptions varianter heri: Periode 30, som styrende resulterer i en hurtigt-pulserende melodi, mens periode 48 i en middel- og periode 80 i en langsomt-pulserende melodi:

IV

4.1 Hermed er den afsluttende fase i overvejelserne indledt: I virkeligheden rummer de foregående afsnit ""nøglerne"" til disses afrunding! Som det erindres ophørte, på perceptionens tempoplan, ritarderingen, som generelt fænomen, på part s. 40, (men kunne spores fortsat på det stigende, henh. faldende tonehøjde-plan). I kraft SIGNALSYSTEMATIK af omdannelsen af 9-tonesírukturen ""Den vilde Brud"" til en treplanet uendeligheds-struktur ville ritarderingen nu kunne fortsætte uendeligt:

4.2 Udfra den basale proportion 3: 5:8 vil i det langsomste tempolag til enhver tid (i dette tilfælde altså ""3"" = periode 80 = bølgelængde 80) udtyndingen modvirkes gennem mere eller mindre umærkelig tilsynekomst af de 4 gange hurtigere uendeligheds-toner, hvorved det langsomste lag bliver ""12"", det hurtigste ( og det mellemste, ""5"", det langsomste, mens det hurtigste, ""8"", bliver det mellemste!).

4.4 Eksemplet viser om vending sfig-uren, ""12"", dukke ud af U3"" -gitteret - i 4 gange dets tempo. Desuden viser det (ved ""NB!"") et sammenstød, der dog kunne undgås, hvis hele strukturen bevægede sig 10 bølgelængder tilbage (eller frem), som ""-12"" viser. Komplikationen antyder den fænomenologiske rigdom som rummes i denne ""signal-økonomiske struktur"", hvis optimale udnyttelse af energien - i dette tilfælde det lyttende systems organiske energi - fremgår af den rene signal-meddelelse uden sammenstødenes uendeligt forgrenede ""ring-modulatoriske"" effekter og disses fordring på tolkende bevidsthedsenergi.

4.5 Koncertsatsens afslutning manifesterer sig som genoptagelse af ritarder-ingseffekten, med to midler der hver i sig selv rummer et fascinerende paradoks. 4.51 Det ene middel er (se § 3.5) fastholdelse af tonestrømmens absolutte værdier, men gradvis nedstigning i tempolagene, fra betoning af puls ""8"" over ""5"" til ""3"", hvorved den nedsatte tempooplevelse åbenbarer sig på puls-planet.

4.52 Det andet middel er bevarelse af pulsens absolutte tempo igennem en ""screening"" af eksemplets 3 systemer fra ""3"" over ""5"" til ""8"". Herved bevares puls-oplevelsen, men de absolutte værdier nedsættes (i.e. der bliver ""tyndere bevokset mellem taktslagene"").

4.53 En paradoksal kombination af det første middel (: bevarelse af de absolutte værdier/nedsættelse af puls-tempoet) med en acceleration manifesterer sig i part. s. 56-59 (incl): Nedstigningen fra hurtigere til langsommere puls-betoninger foregår konstant og med overlapning af det langsomste ""3"" med det hurtigste ""12"" som vist s. 13 (""3"" - ""12""), men i stadig hurtigere ""screening"" af processen, hvorved den ""accelererer"" frem til satsens begyndelse i ""halvoktav-kaos"" ( § 2.34) (part. s. 38). Den retrograde oplevelse accentueres ved kaos-halvoktavens fortsættelse i violin-soloens retrograd-genkomst fra satsens absolutte start (part. s. 37).

4.54 Ved at lade ""organer""/""organismer"" dele ""celler"" som vist i de foregående eksempler udnyttes det spillede/hørte optimalt, da det samme uændrede kvantum eller/ og den uændrede struktur kan meddele sig på mindst 3 indbyrdes vidt forskellige former, kun manifesteret gennem betoning/tolkning. oo-serien, ""sekvensen"", ""Den vilde Brud"" og ""Den rystede Brudgom"" er beslægtede, men indbyrdes arts-forskellige repræsentationer af denne bestræbelse.

EFTERSKRIFT

Af Jesper Beckman

Per Nørgård beskæftiger sig i dette udkast med accelerationens ""indhold"". Han har tidligere været inde på emnet i artiklen ""Has-

tighed og acceleration"" i DMT nr. 4 1985/86. l al korthed kan problemet beskrives: Et accelerando - og dette gælder naturligvis også for et glissando - har en indbygget grænse for sin udbredelse, med mindre det er muligt at reproducere det i takt med dets udbredelse. Hvorledes er en sådan reproduktion EFTERSKRIFT

mulig? Det er den f.eks., som Per Nørgård skriver, ved gennem periodiske betoninger at genskabe de strukturer, der er blevet nedbrudt. Alt efter valg af tonemateriale vi! en sådan procedure kunne føre til ren kakofoni (i det mindste noget ukendt) eller til et periodisk tilbagekommende motivmateriale. Førstnævnte materiale, som han kalder katastroferækker, kan f.eks. være kromatiske skala-orienterede rækker. Som eksempel på den anden type nævner han uendelighedsrækken, der i hierarkisk uudtømmelighed og variationsrigdom fremstår som mere attraktiv. Som bekendt vil en udvælgelse af hver 4. - eller 16. eller 64. etc. -tone udfra den 1. igen give den samme række, hver 2. - eller 8. eller 32. etc. - give omvendingen, osv. (jvf. f.eks. Erling Kullberg ""Den hierarkiske musik"" DMT nr.3 1977). Rigtig spændende bliver det når flere forskellige uendelighedsrækker knyttes sammen til et flerdimensioneit accelerando i en gennembrudt tekstur, eller, som der snarere er tale om her i violinkoncertens 4. sats, til et flerdimensioneit decelerando. Hvorledes det kan gøres viser Per Nørgård her i afsnit 3 og 4 eksemplificeret ved temaet ""Den vilde Brud"" i dets forvandlede form som ""Den rystede Brudgom"". Temaet ""Den vilde Brud"" består af 9 toner, der på forskellig vis kan artikuleres ved hjælp af periodiske betoninger i henholdsvis tempo 2 eller 3 (§ 3.10). Dette tema bryder Nørgård op i en polymetrisk gennembrudt tekstur med temporelationen 3:5:8, altså 3 toner mod 5 toner mod 8 toner. Dertil kræves ialt 16 toner, altsåforuden ""Den vilde Bruds"" 9 yderligere 7 toner. Disse kan naturligvis fås ved at gentage ""Den vilde Brud"", men i stedet vælger Nørgård at udlægge de tre tempolag som selvstændige uendeligheds-rækker (§ 3.4). Og for at markere disses uafhængighed forskydes tempolagene, således at der aldrig bliver sammenfald mellem de respektive rækkers ansatser. Udfra rent spilletekni-ske grunde tildeles det vanskeligst udførlige lag i forhold til dirigentens 4/4 (kvintolen) 1-slaget, det næstvanskeligste (triolen) 3-slaget i takten, mens den enkleste (8.-delene) placeres på ubetonede 16.-dele. Hermed er der etableret en struktur af 3 samtidige, men uafhængige lag, der tillige som følge af den gennembrudte tekstur kan manifestere sig som et enkelt lag artikuleret udfra henholdsvis 8.-delene i en hurtigt-pulserende melodi, kvintolerne i en middel- og triolerne i en langsomt-pulserende (§ 3.5). Betegnelserne periode 30, 48 og 80, der er synonym med betegnelserne bølgelængde 30, 48 og 80, markerer, at den for de tre lag fælles rytmiske enhed er 1/30 af 8.-delen, 1/48 af kvintolen, osv, dvs. dergår SO enheder på hver 8.-del, 48 på hver kvintol og 80 på hver triol. Ved denne rystelse, forvandling af det oprindelige tema ""Den vilde Brud""til en 3-laget uendelighedsstruktur, er der således skabt mulighed for at decelerationen kan fortsætte i det uendelige, idet hver uendelighedsrække kan opfattes som bølgelængde 4 i en ""hurtigere"" række, hvilket vil sige, at f.eks. for hver tone i tempolag 3 kan indsættes4toner, hvorved det blivertil tempolag

12. Tempolag 5 bliver til tempolag 20 osv. (§ 4.2). Ved indføjelsen af række ""12"" opstår der dog et sammenfald mellem en ansats i denne række og en ansats i række ""5"", hvilket er uhensigtsmæssigt af hensyn til deres indbyrdes uafhængighed. Dette problem løser Nørgård ved at rykke tempolag ""12"" 10 bølgelængder tilbage, hvilket svarer til halvdelen af en enkelt ansats nodeværdi (10 perioder af 20).

En anden løsning på accelerationens indhold er den ""sekvens"", Per Nørgård beskriver i afsnit 1 og 2. Forudsætningen for denne ""sekvens"" er forestillingen om henholdsvis en ""lodret"" og en ""vandret"" resonans.

Den ""lodrette"" resonans udgøres af en uendelig henholdsvis stigende og faldende serie af rene kvinter. Som bekendt vil den

13. tone i en stigende kvintfølge være en anelse højere end den

1., eî pythagoræisk komma højere eller niere præcist 22 cent højere (1200 cent svarer il! en oktav). Resonans-fænomenet består så i9 at den 13. tone ""vækker"" den 1., rnen 22 cent højere. Som kvintcirklen kører rundt, stiger den 22 cent for hver omgang. Samtidig hentes heie tiden nye toner op nedefra, så processen kan fortsætte i det uendelige. Efter 5 omgange er cirklen steget 110cent, hvilketca.svarertilen halvtone. Efter27omgange594 cent, altså en tritone, osv.

Den ""vandrette"" resonans udgøres af den diatoniske skalas immanente resonansrum af super- og sub-harmoniske treklange (§ 1.7-1.8). Som bekendt er en super-harmonisk treklang udledt af overtonerne, en sub- af undertonerne (jvf. f.eks. Kullberg, samme sted). Eksemplets 2. tone e er således fokustone for den subharmoniske treklang e - c - a, og ikke grundtone for den superharmoniske e - gis - h, datonen gis ville ""sprænge"" resonans-feltet.

Selve ""sekvensen"" repræsenterer en syntese af 4 3-tone-komplekser. Udfra tonen d er det de 3 super-harmoniske grundtoner g - f - c og de 3 sub-harmoniske fokustoner h - a - e. Udfra tonen as grundtonerne cis - h - fis og fokustonerne f - es

- b, men da as i kvintcirklen står diametralt modsat i forhold til d, bliver as interne relationer vendt på hovedet. Dvs. at grundtonerne cis - h - fis inverteres til ""fokustonerne"" h - cis - fis, mens fokustonerne f - es - b inverteres til ""grundtonerne"" es - f - b (anførselstegn fordi ""fokustonerne"" i forhold til as naturligvis stadig er grundtoner, og omvendt). Tonerne d og as er naturligvis ikke med i sekvensen, da de ville ""sprænge"" de respektive resonans-felter (jvf. den ""vandrette"" resonans ovenfor). Sekvensen kan således opfattes som en sammenfatning af 4 forskellige resonans-felter: 1) en stigende, superharmonisk (g -f - c ) - rød; 2) en faldende, sub-harmonisk (h - a - e) - blå; 3) en faldende, superharmonisk (h - cis - fis) - grøn; 4) en stigende, sub-harmonisk (es -f - b) - gul. Eller med andre ord, ""sekvensen"" udgør kun et enkelt moment i f.eks. en 12 gange så stor ""supersekvens"" (se farve-tillæg) af stigende og faldende resonansfelter, hvor de enkelte felters stigningstakt svarertil 5 kvintcykler, 110 cent, ca. en halvtone: den stigende, superharmoniske g - f

- c (rød) stiger til gis - fis - cis, osv.

l første afsnit efter solo'ens indledning i violinkoncertens 4. sats hører vi et stort decelerando indenfor denne ""super-sekvens"". Som tempoet for de stigende og faldende resonans-felter falder, manifesteres gradvist flere og flere af ""super-sekvensens"" toner i henholdsvis 3-delt og 2-delt rytme. Først er tempoet så afsindigt hurtigt, at kun de to diametralt modsatte toner kan høres: rød g (linie A) og rød des (linie E), diabolus in musica (i partituret transponeret til h - f). Efter at tempoet er faldet noget manifesteres henholdsvis 3 og 4 af ""super-sekvensens"" toner, c - e

- gis og e - cis - ais - g. Ved endnu et fald 9 og 8 toner, dernæst 27 og 16, osv. Derved opstår allerede et problem i den 3-delte rytme ved 27toner, idet ""super-sekvensens"" 144 toner ikke lader sig inddele i 27 betoninger. Dette problem løser Per Nørgård ved at opfatte hvert resonansfelts 3-tone-kompleks som initialtoner i en uendelighedsrække. Ligesom i tilfældet ""Den rystede Brudgom"" kan denne række opfattes som bølgelængde 3 i en 3 gange så hurtig række, således at der for hver tone i den langsomme række indskydes 3 nye toner: f.eks. er den langsomme rækkes g - f - c omvendingen af den 3 gange så hurtige række g-a-d-f-h-e-c-e-a. Derved er der skabt mulighed for at decelerationen kan fortsætte i det uendelige. ""Sekvensen"" bliver således at opfatte som et samlet udtryk for et lukket, uendeligt univers (der dog kan ""sprænges"", hvis de enkelte resonans-felters uendelighedsrækker får lov at udfolde sig udoverfeltets grænser). Og som sådan dannerden et bagvedliggende vibrationsfelt for den ovenfor omtalte forvandling af ""Den vilde Brud"" til et åbent, uendeligt univers: Den rystede Brudgom