Fraktaler - del og helhed

Af
| DMT Årgang 64 (1989-1990) nr. 04 - side 111-114

Artiklen er indscannet fra det trykte magasin; der tages forbehold for fejl

Sider af uendelighedens væsen


Af Carsten Cramon

Menneskets liv i og med naturen og måske i særdeleshed idagmod naturen er et liv i et endeligt tilstandsrum. Kun ganske få mennesker har haft en mere eller mindre permanent kontakt med uendelighedens kontinuum - kosmos. Disse personer findes ogfandtes normalt inden for forskellige mysterietraditioner. Vi andre kan være heldige enkelte gange i vort liv at opleve en åbning til dette felt. Den dybe og ægte kærlighed kan være en sådan bro imellem det fysiske og det åndeliges uendelige enhed. Musikken skal vi heller ikke glemme i denne forbindelse. Hvad, der måske er mindre kendt, er at matematikken kan have den samme åbnende kraft. Dette er i stærk kontrast til den almindelige opfattelse af matematikken som en ren kvantifiserende videnskab.

Matematikkens væsen er musisk. Den kan åbne os over for formers og strukturers indre skønhed ogfylde os med forundring, samtidig med at den udstyrer os med et filter, hvor igennem naturens universelle former kan opleves.

Jeg tror at vi alle bærer på en længsel efter forening med uendeligheden - enheden. For de fleste af os vil det først ske i dødsøjeblikket.

Det er derfor ikke mærkeligt at mange uden for matematikkens felt har følt en stærk tiltrækning over for fraktalerne. Med fraktal erne er vi meget tæt på et fysisk udtryk for uendeligheden. Man kan næsten gribe uendeligheden i mange af disse billeder, se f.eks. forsidebilledet eller fig. l på næste side.

Prøver man at følge uendeligheden bevidsthedsmæssigt indad i disse billeder, så vil man dog stadig hurtigt komme til kort.

De første fraktaler

De matematiske idéer var som så ofte før langt forud for deres tid. Fraktalerne så dagens lys for ca. 100 år siden. En tid med store brydninger og forandringer inden for kunst og videnskab: 12-tone musik, kubisme, relativitetsteori m.m.

De første fraktalformer var mystiske kurver, som opførte sig på de mest uventede måder. Man vidste ikke rigtig, hvad de kunne bruges til, eller hvad man skulle gøre ved dem. De var mærkelige og sære. En fyldte en flade (Peanokurven), oghavde dermed et areal. En anden skar sig selv overalt (Sierpienskistrekant). De knækkede alle i ethvert punkt.

Fraktaler er algoritmer

Vil man prøve at forstå hvorledes fraktalformer fremkommer, kan det være nyttigt at se på nogle af de tidligste: Kochs snefnugkurve(1904) og Sierpienskis trekant (1915).

På fig. 2 (næste side) ses hvorledes Kochs snefnugkurve fødes ud fra et liniestykke som input til en proces P, der omdanner ethvert liniestykke efter følgende recept:

Hvert liniestykke i output har en længde på 1/3 af det oprindelige. Kaldes det første liniestykke for K(0) og det tilhørende output for K(l), fås næste output K(2) ved at benytte K(l) som input til P. Sådan fortsættes i det uendelige.

Vi får en følge af former:

K(0).

K(oo)

Grænsekurven ude i uendelig K(oo) er Kochs snefnugkurve. Den er fraktal, mens mellemformerne K(0), K(l), K(2),.....ikke er det. De kaldes præfraktale former.

Fraktale former fremkommer efter uendelig mange gennemløb af en given proces. Det input der startes med er ikke af den store betydning. Det er de uendelig mange gennemløb af processen der former fraktalen. I fig. 2 ses en anden følge af præfraktale former, som også vil resultere i Kochs snefhugkurve. Fraktaler er algoritmer.

Vi kan nu se, at alle de fraktaler der har været gengivet i bøger, aviser og på video, har været præfraktale former. Der har aldrig eksisteret en fraktal fysisk, men mange af de såkaldte fraktalbilleder har været gode approximationer til de bagvedliggende fraktaler.

En rigtig fraktal er karakteriseret ved at dens variation fortsætter ned i det uendelig små. Kochkurven knækker i ethvert punkt.

Kockkurven har yderligere den egenskab at den er selvlignende-selvsimilær. Delen er helheden og vice versa. En basal egenskab ved mange fraktaler. Ligegyldig hvor lille et udsnit vi tager af Kochkurven, vil en passende forstørrelse vise os hele kurven. I fig. 3 ses forskellige følger af præfraktale former, som alle resulterer i fraktalen med navnet Sierpienskis trekant. Bemærk de forskellige startinput, samt at det er den samme proces der i alle tilfælde gentages i det uendelige.

Del og helhed

Man kan definere en fraktal, som en mængde bestående af dele der på en eller anden måde er selvlignende med helheden.

I denne definition ser vi igen strukturen: Delen er helheden.

Dette er uendelighedens væsen. Mange kunstnere har ønsket at udtrykke denne struktur. F.eks. den hollandske grafiker M. C. Escher (1898-1972) som i flere billeder har ønsket at give os et indblik i uendeligheden [1].

Per Nørgård har med sit melodiske uendelighedsprincip benyttet en algoritme svarende til den der frembragte Kochs snefhugskurve. Som input har Per Nørgård brugt toner og som proces, et princip for omformning af toner [2]. Dette bevirker at melodien overlejres af melodien i forskellige tempi og spejlinger.

Ole Sarvig har i digtet "Vågen nat" ("Grønne digte" 1943) udtrykt sin forundring over vor placering som del og helhed i kosmos. Vi er del i en uendelig rejse indad og udad. Fra mystikerne ved vi at de søgte indad mod en kontakt til deres inderste kerne, som er det øje, hvorigennem kosmos kan kontaktes.

En ny geometri

Fraktalerne er nye geometriske objekter, der også kan benyttes i vores søgen efter modeller til beskrivelse af naturens former.

Det var Benoit Mandelbrot, der var den første til at indse dette. Han samlede i 1960'erne og 70'erne alle disse krøllede former under én hat og kaldte dem fraktaler [3].

Kochkurven var for ham en første approximation til beskrivelse af naturlige former som: kystlinier, skyer, snekrystaller osv.

Det erklärt, at han var interesseret i bedre modeller. Disse fandt han, ved at benytte stokastiske processer i fraktalalgoritmernei stedet for de deterministiske, som bl.a. Kockkurven og Sierpienskis trekant er frembragt af.

Disse stokastiske fraktaler beskriver bedre den naturlige variation. Skyer er indbyrdes forskellige, men de har også en fundamental struktur fælles, der bl.a. gør at vi kan genkende dem som skyer. Forskellige områder inden for samme landskabstype (kystområde, engområde, højslette m.m.) er forskellige, samtidig med at de har landskabstypens strukturer fælles.

På fig. 4 ses 9 billeder af sådanne stokastiske fraktaler. Det er tydeligt, at de minder om et naturligt kystlandskab. I disse billeder, er der tale om et andet selv-similaritétsprincip - statistisk selvsimilaritet [4].

Når man bevæger sig fra øverste venstre hjørne til nederste højre hjørne i læseretningen, går man igennem forstørrelser af det første landskab på 16 mill, gange. Det ses klart, at alle landskabsbillederne udviser den samme landskabstype og den samme faktale variation. Men man vil ikke uden videre kunne afgøre hvilke, der er forstørrelser af hvilke.

En fraktal er skalainvariant i en eller anden betydning. Enten fuldstændig skalainvariant som Kochkurven, statistisk som disse landskabsbilleder eller på andre måder, som f.eks forsidebilledet i dette nummer.

Afslutning

I den klassiske geometri er byggestenene: punkt, linie, cirkel osv. Ved hjælp af disse har mennesket konstrueret sig frem til en række former, som har fået afgørende betydning i den samfundsmæssige udvikling. Mange vil mene, at den rette linie har nok fået en for central placering. Det skyldes ikke mindst at linie og cirkel er helt basale elementer i teknisk velfungerende apparater og maskiner. D e er effektive, økonomiske og endelige.

I modsætning hertil har vi fået fraktalgeometrien, hvor de basale byggeklodser er algoritmer. Det er algoritmerne som indeholder information om den fraktale form.

En fraktal algoritme er en proces gentaget over og over igen i det uendelige på den måde, at output af processen altid er input på ny. En sløjfe er sluttet.

Der findes en uendelighed af sådanne algoritmer. Dette har bevirket at man er kommet meget langt i beskrivelse af naturlige former med fraktaler. fig. 5 viser en statistisk selvsimilær fraktal til beskrivelse af et bjerglandskab [5], mens fig. 6 viser et andet fraktalbil-lede af blomster, hvor deterministiske processer er benyttet [6].

Fraktalerne vil måske med årene gaben og blive lige så velkendte objeker som linie og cirk el. Der er ingen tvivl om atfraktalerne er kommet for at blive. I disse år opstilles mange modeller, ikke kun inden for naturvidenskaberne, rnen også samfundsvidenskaberne, hvor fraktale idéer er centrale. Ud over dette arbejdes der i mange lejre med fraktalernes form og idéverden.

LITTERATUR

[1] Bruno Ernst: MM. C. Eschers tryllespejl" (Taco, Berlin 1988).
[2] Per Nørgård: "Bevidsthedsudvidelse ved fuld bevidsthed". Nutida Musik, 1972/73 nr. 4, s. 18-22. [3] Benoit Mandelbrot: "The Fractal Geometry of Nature". (Freemann, New York 1982). [4] H-.O. Peitgen & Dietmar Saupe (ed.): "The Science of Fractal Images" (Springer, New York 1988). [5] Michael Barnsley: "Fractals Everywhere" (Academic Press, San Diego 1988). [6] H.-P. Peitgen & P. H. Richter: "The Beauty of Fractals" (Springer, Berlin 1986).

Carsten Cramon underviser i matematik ved Gedved Statsseminarium.

Årgang 64/1989-1990, nr. 04