Symposion Symposion - Teori og praksis i Iannis Xenakis' kompositionsteknikker: En eksemplifikation

»Den lyder som matematik - og ikke som rigtig musik«, er ofte udtalt om lannis Xenakis' musik. Ivar Frounberg vil i denne dybtborende artikel vise, at dette er en misforståelse. Matematikken kan virke som en bevidsthedsforlængelse og nå langt ud over den konventionelle ørelogik.

I 1982 fyldte komponisten lannis Xenakis 60 år, dvs. vistnok, for hans dåbsattest forsvandt under 2. verdenskrig, hvor Xenakis deltog i den græske frihedskamp. Herhjemme har der længe været stille omkring denne »avantgarde«-komponist. Kun få at hans værker har fundet vej til koncertprogrammerne: Charisma og Mikka i DUT (1919/ 80), Phlegra i DR( 1980) og Psappha for slagtøj og Kottos for solocello.

IDMT nr. 3 fra 1977 finder man en lille oversigt over basis for Xenakis' kompositionsteknikker. Klaus Høeck gør her udmærket rede for nogle relevante teorier for forståelsen af Xenakis' musik, men som det næsten altid går når talen falder på denne komponist, er det svært at finde forbindelsen mellem teori og praksis. Fejlen er for så vidt Xenakis5 egen: hans forelæsning om »musik og arkitektur« som han har holdt mange gange i Europa og USA, samt den tilhørende bog »Musique-Architecture« (der i udvidet og omarbejdet form er oversat til engelsk med titlen: »Formalized Music«) omhandler det teoretiske grundlag uden fyldestgørende at analysere omsætteisen til klingende resultat. Derved er der banet vej for den omfattende misforståelse at analyser af Xenakis' musik udelukkende skal baseres på matematik, og det vækker straks fordomme hos de fleste ikke-matematisk indstillede personer. Disse lufter så den mening at hans musik »lyder som matematik« - underforstået: og ikke som rigtig musik.

Hvad har matematik med musik at gøre?

De fleste af de manipulationer som komponister udfører kan beskrives matematisk, men kun sjældent interesserer dette aspekt komponisterne. Man slår sig til tåls med den høne logik, hvilket også kan være fyldestgørende, især for en sensitiv lytter. En transformation af musik til et matematisk-logisk sprog åbner imidlertid for afprøvningen af en række musikalske ideer med indbyrdes logisk slægtskab som ø-rets passivt-kontrollerende rolle ikke ville have »hørt«. Matematikken virker i så tilfælde som bevidsthedsforlængelse, der når langt ud over den konventionelle ørelogik. Endvidere har brugen af matematikken den fordel at komponisten kan være sikker på at afsøge samtlige mulige løsninger på et givet kompositorisk problem. Det er vigtigt at gøre sig klart at matematikkens funktion er beskrivende, og at den er opstået som et sprog, der, i et logisk afgrænset univers, beskriver perceptionen af den virkelighed der omgiver os. Problemet for os komponister er, at kunne aflæse hvad en given matematisk formel dækker over rent akustisk.

Den styrede tilfældighed

Da jeg fulgte lannis Xenakis' forelæsninger i Siena i sommeren 1979 blev jeg bjergtaget af den vitalitet og ekstremt voldsomme kraftudstråling, der kom fra både personen Xenakis og fra hans musik. Derfor fortsatte jeg med studier og analyser af en række af hans værker i Lars Heegårds og mine fællestimer i komposition hos Ib Nørholm på DKDM. Det viste sig her, at der var mange traditionelle indfaldsvinkler til en slags »fænomenologisk« analyse, der kunne anvendes i beskrivelsen af kompositionsteknikkerne, omend der opstod huller, - huller der sikkert skyldtes brugen af den »styrede tilfældighed«, der jo er Xenakis' kompositoriske kendemærke, og hvis klingende resultat netop falder udenfor den kvalitativt sammenhængende analyse. Sådanne mangelfulde analyser kunne synes ret ligegyldige, hvis de ikke netop understregede Xenakis' utroligt righoldige kompositionsteknikker, og hvis de ikke viser hans fantastiske frihed i brugen af dem: egenskaber der gør hans musik meget facetteret og sammensat. Denne frihed, der åbenbares ved analyserne, er baseret på musikkens »hørthed« og er næsten beskrivende; hvis ikke den matematiske transformation sørgede for en abstraktion kunne der være tale om at musikken nemt kunne blive for privat, sådan som det f.eks. sker for Hans Werner Henze i brugen af Ho-Chi-Minh-råbets rytme i Medusas Tømmerflåde, og i andre lignende situationer hos andre komponister.

I efteråret 1980 uddybede jeg yderligere min viden om Xenakis og specielt hans computermusik ved at følge Jan Myhills(1) forelæsningsrække om »Computermusic and Technology in Music« på S.U.N. Y. i Buffalo. Her fremlagde jeg hovedindholdet af denne artikel. Deraf følgende kritik og ny viden har siden ført til en revision af den oprindelige artikel samt føjet meget nyt til.

Det er mit håb af denne artikel vil eksemplificere matematikkens bevidsthedsudvidende egenskaber, sådan som de kommer til udtryk i lannis Xenakis' arbejde med musik.

Tre hovedprincipper

Xenakis opregner tre hovedprincipper for udviklingen af sine kompositioner:

»Stochastisk musik«: musik der er baseret på brugen af sandsynlighedsberegning, der angiver en overordnet retning (en kvantitativ beskrivelse) af det musikalske forløb.

»Strategisk musik«: musik der er baseret på bestemte spilleregler, der er hentet fra logikken.

»Symbolsk musik«: musik der er baseret på den symbolske logik og kan beskrives af dennes »sprog« eller af symboler fra mængdelæren.

Disse tre hovedprincipper er ikke nødvendigvis adskilte, f.eks. kan den første udfolde sig indenfor den tredies rammer osv. Fælles for dem er imidlertid, at de alle giver anledning til delstrukturer der kan konstateres analytisk. Udover de tre nævnte, finder man en fjerde meget væsentlig teknik: overførelse af visuelle figurer til musik, dvs. fra millimeterpapir til nodepapir. (Se side 194).

De nævnte grundlæggende kompositoriske teknikker bruges ikke abstrakt, men som overlejrende strukturer i naturalistisk-lydlige »modeller«. Xenakis nævner selv(2) disse modeller som en vej til at nærme sig hans musik: naturlyde fra hans barndom på landet, rytmiske demonstrationsråb der glider ud af fase, geværild og andre lignende oplevelser fra hans tid som frihedskæmper.

I værkerne indtil midten af tredser-ne kommer to forskellige holdninger tydeligt til udtryk, på den ene side står værkerne baseret på selvoplevede lydlige hændelser (f.eks. Pithoprakta og Metastasis) og på den anden side de mere abstrakt formaliserede kompositioner som f.eks. Herma, ST/4, ST/10, Atrées ST/48, Eonta og Akrata. Med værkerne Terretektorh og Nomos Alpha samler de to spor sig og nu bliver Xenakis' værker væsentlig mindre entydige, mens personlighedens vitale og voldelige udstråling bliver evident. Hvor de tidlige værker ofte fastholdt een kompositorisk teknik gennem hele et givet værk, er de senere værker et orgie af forskelligartede principper. I et interview i anledning af festligholdelsen af hans 60-årsdag (BBC den 15. juli 1982) gør Xenakis det klart at hans værker fra 70'erne repræsenterer en syntese af brugen af matematik og intuition - han brugte matematikken i de tidlige værker til at »forme« intuitionen siger han.

Eksemplificering via delanalyser og analyseforsøg

Stochastisk Musik

En række af Xenakis' tidlige værker er udelukkende baseret på statistiske beregninger. Det gælder værkerne Achorripsis (1956-57), ST/4, ST/10, Atrées Morsima-Amorsima og ST/48 (alle komponeret mellem 1956 og 1962) samt dele af Strategie ( 1956-62) og Eonta (l 963-64). Deter i denne gruppe af værker, hvor computeren har været nødvendig som redskab til at udføre det komplicerede beregningsarbejde. Det er vigtigt at forstå at computeren ikke skaber værket, men at den er et redskab for opnåelsen af den »globale«(*) virkning, hvor detaljerne ikke har kvalitativ virkning. I et interview med Mario Bois i 1966 påpeger Xenakis vigtigheden af 1) programmets preci-seren af den grundlæggende idé, og 2) datainputets relation til det klanglige resultat. Komponisten er således stadigvæk ladt tilbage med musikalske valg både i input- og i outputfasen, hvor resultatet udformes i partitur.

Typisk vil Xenakis specificere kvaliteter som: længde afkomposition, instrumentation (herunder specielle spilleteknikker), gennemsnitlige værdier for længde af enkeltafsnit, tætheder i disse, klangfarve-distribution, tonevalg, tonevarigheder og glissando-hældningsgrader.

Det følgende er en gennemgang af et typisk »flow-chart« for et af ovennævnte computerværker.

Først defineres inden for hvilket afsnit der aktuelt arbejdes (sect. S= l ) og på grundlag af den allerede indkodede gennemsnitslængde definerer computeren den aktuelle længde. De næste to afgørelser, der træffes, er i nævnte rækkefølge »tæthed« og »orkester« (dvs. instrumentation). Definering af »tæthed« implicerer en række problemer i indkodningsfasen. En udgangsskala som f.eks. l hændelse/ sek., 2 h./sek. ... 9 h./sek. giver meget større forskelle i perceptionen i den nedre ende i forhold til den øvre. Forskellen mellem l h./ sek. og 2 h./sek. opfattes langt tydeligere end forskellen mellem f.eks. 8 h./sek. og 9 h./sek. Derfor fastlægger Xenakis en tæthedsskala som en kvotientrække således at f.eks.:

subjektiv tæthed I svarer til objektiv tæthed l h./sek.

subjektiv tæthed II svarer til objektiv tæthed 2 h./sek.

subjektiv tæthed III svarer til objektiv tæthed 4 h./sek.

subjektiv tæthed IV svarer til objektiv tæthed 8 h./sek.

Dette medfører imidlertid at skalaen får langt færre trin, hvorfor Xenakis bestemmer at de subjektive tætheder er områder af et kontinuum, således at der til hver subjektiv tæthed svarer en større mængde objektive tætheder. Valget af »orkester« må også gøres til genstand for analyse. I Xenakis' »orkester« indgår mulige spillemå-der og registre for de forud for indkodningen valgte instrumenter. Achorripsis' »orkester« er f.eks. følgende: fløjte, obo, messingblæsere, slagtøj, strygerpizzicato, stryger-glissando og stryger-arco. Derudover må »orkestrets« klangfarvefordeling vægtes mod den for afsnittet gældende tæthed. Denne vægtning kan vises i en graph der viser »orkestrets« procentuelle sammensætning som funktion af tæthedskontinuummet:

Først nu kan det egentlige arbejde med at fabrikere tonehøjder påbegyndes. Node N=l medfører at computeren definerer indsatstiden for en første node, under hensyntagen til de forudindkodede tæt-hedsværdier. Det er klart, at indsatstiden ikke må overskride afsnittets længde. Nu bestemmes derefter først hvilken klanggruppe i »orkestret« der skal producere noden og dernæst tonehøjden. Hvis klanggrupen hedder »glissando« må hældningsgraden derefter bestemmes. Der er to metoder til det: enten som funktion af en forud indkodet sandsynlighed eller som funktion af tætheden (på samme måde som »orkestret« blev relateret til tætheden). Xenakis' maksimale hældningsgrad for et glissando ligger i følge My hill mellem 17 og 33 halvtoner/sek. Det betyder ikke at alle glissandi har dette formidable tempo da den gennemsnitlige værdi ligger væsentligt lavere. Tonens varighed skal også relateres til tætheden. Hvis f.eks. klangkategori »fløjte« har en vægt på 25% af »orkestret« og den aktuelle tæthed er 4 h./ sek. medfører dette l h./sek. i fløjten. Derfor må hændelsernes varighed i gennemsnit være væsentligt kortere end l sek. Større tæthed medfører kortere varigheder - og omvendt.

For at undgå dominans af de lange varigheder må de enkelte varigheders sandsynlighed vægtes efter deres længde. Her gælder det at kortere varigheder må have større sandsynlighed end længere. Xenakis løser dette problem ved at bruge en Poisson-fordeling.

Den sidste beslutning før den første node kan indsættes på papiret, er defineringen af nodens dynamiske niveau, og også her bruger Xenakis en vægtet fordeling for at undgå »gråhed«.

Efter det dynamiske niveau er besluttet for første node, fortsætter man node for node indtil afsnittet er færdigt. Så sættes sect. S=2 og hele processen begynder forfra. Til trods for den artistiske programmering kan der ikke herske tvivl om at disse tidlige computerværker ikke i alle henseender har tilfredsstillet Xenakis, de må vel nærmest betragtes som en slags »etuder« i selve det »at komponere«. Når jeg så relativt grundigt har gennemgået Xenakis' flow-chart er det fordi jeg mener, det er et eksempel på en bevidstgørelse af hvilke valg man træffer som komponist, valgenes rækkefølge og rækkefølgens konsekvenser. Myhills a-nalyser af de programmer som Xenakis har offentliggjort viser at Xenakis har grebet ind i de resultater, computeren har forsynet ham med, idet der i visse tilfælde mangler overensstemmelse mellem programmet og værkets musikalske realitet. Xenakis' svar til Myhill på påvisningen af disse uoverensstemmelser var: »Selvfølgelig«!

Herma for piano, komponeret 1960-61.

Hernia's formale struktur er bygget på elementære mængdeberegninger, og kan derfor karakteriseres som hørende til gruppen »symbolsk musik«. Forløbene inden for de enkelte mængder kan være sto-chastisk beregnede, men afslører en tendens mod kvalitative strukturer der enten udfolder sig inden for et heltonerum, eller som er af diatonisk art. Xenakis har blandt samtlige af klaverets toner udvalgt tre »klasser« A, B og C, der henholdsvis omfatter tonerne: (se eks. til højre)

Xenakis har udtalt at udvælgelsen af tonerne i de tre »klasser« er tilfældig, men der er en vis synlig orden som sandsynligt ville kunne beskrives af sigteteorien (som jeg beskriver i afsnittet om Akrata).

De tre toneklasser underkastes i løbet af kompositionen en række forskellige manipulationer fra mængdelæren, således at hvert afsnit opererer med sit bestemte tonemateriale. Grafisk og symbolsk kan grundmanipulationerne angives således:

A-mængden:

negationen af A, dvs. alle de toner der ikke tilhører A. Skrives som A

AVB-mængden, dvs. forenings-mængden af A og B, denne omfatter tonerne:

R = mængden af samtlige toner på klaveret.

De tre klasser A, B og C placeret i R-mængden:

A() B-mængden, d.v.s. fællesmængden for A og B, denne omfatter tonerne:

Xenakis opstiller flg. diagram hvoraf man kan læse de mængdeberegninger, der ligger til grund for tonematerialet i Herma. Som det ses er toneklasserne fordelt mellem fire dynamiske niveauer:

Formforløbet i Herma kan aflæses af skemaet side 189. Det indledende afsnit er ikke medtaget i dette skema, da det ikke bygger på de tre grundmængder, men er et relativt frit (?) komponeret accellererende forløb. Det følgende eksempel viser hvorledes A()-mængden kommer til udtryk i partituret (sml. tonematerialet med ovenstående tonemængde):

Det rytmiske forløb i Herma unddrager sig en kvalitativ analyse da det sandsynligvis er beregnet stochastisk. I forbindelse med angivelsen af toneklasse i partituret angiver Xenakis også det pågældende afsnits tæthed. Denne kan selvfølgelig kontrolleres. I ovenstående eksempel (A()B-mængden) ligger den faktiske tæthed noget højere end de 0,8 h./sek. Xenakis angiver, mens tallet for andre toneklasser er mere præcist. Generelt kan det siges at netop brugen af stochastisk beregning vil medføre at angivne værdier kun er udtryk for en idealværdi. Værdiernes præcision stiger med afsnittenes længde, og f.eks. i den første A-klasse afviger den faktiske tæthed fra den angivne værdi først i anden decimal. Den næsten konsekvente brug af rytmen 5:6 skyldes at netop denne underdeling af slaget giver en god tilnærmelse til de »tids«-punkter en stochastisk beregning producerer.

Tonefølgen er formodentlig også styret af stochastiske beregninger, men alligevel antyder visse fænomener en kvalitativt defineret struktur. Hvis alle A-klassens toner i det følgende eksempel (dvs. alle ff-toneme) samles inden for en oktav, kan man aflæse tilstedeværelsen af to væsentlige strukturer: et diatonisk felt (a) og et heltonefelt omkring en tretonegruppering (b) med intervallerne tritonus, stor terts og stor sekund. —»

De samme to strukturer finder man i pp-tonerne (»nuage«) i A-klassen:

Disse to strukturer er absolut ikke enestående for Herma, de findes overalt i Xenakis' produktion. Tre-tonegrupperingen kan f.eks. findes i så forskellige værker som Eonta (1963/64), Akrata (1964/65), Nuits (1967) samt Evryali (1973) og det ville ikke undre mig at finde den andre steder. Det diatoniske felt findes næsten identisk i Evryali, hvor det kan udledes af tetra-chord-strukturen (se afsnittet om Evryali).

Rene dodekafone grupperinger er yderst sjældne hos Xenakis. I Herma's indledning, der er et langt crescenderende, accellererende og tætheds-forøgende forløb, er udgangspunktet en tolvtonerække, der i øvrigt er opbygget af fem af de føromtalte tretonegrupperinger: (se eks. til højre)

Jeg har allerede strejfet, at Xenakis inddeler tonematerialet i de enkelte afsnit i kategorier kaldet: »linaire«, »nuage« og »rappel«. De to første kategorier forekommer udelukkende i Hernia's centralsats, hvor klasserne A, B og C samt deres negationer præsenteres, mens »rappel« dukker op i Herma's sidste halvdel. Her genkalder »rappel« allerede præsenterede klasser delvist overlejrende ny klasser, som en slags forsinket ekko. »Nuage« skal opfattes som klangspektre og er dynamisk svagere end »linaire«, der ikke kun skiller sig ud fra »nuage« med en kraftigere dynamik, men oftest også med en lavere tæthed. Den lavere tæthed og kraftigere dynamik medfører at »linaire« kan opfattes som en slags cantus firmus, mens »nuage« mere har en harmonisk-spektral funktion. Xenakis påpeger i Musique-Architecture3 at den traditionelle polyfoni og den harmonisk-melodiske tradition er ekstreme yderpunkter imellem hvilke den formelle musik bevæger sig.

Symbolsk og strategisk musik

Akrata for 16 blæsere, komponeret 1964-65.

Dette værk er iflg. Xenakis et eksempel på »strategisk musik«; men inden vi begynder at analysere det strategiske indhold, må vi se på det materiale hvorpå strategien udøves. I første omgang bliver det til en uddybning af begrebet »symbolsk musik« sådan som man finder det i kapitlet om »sigte«-teorien i Musique-Architecture.

Først fastslår Xenakis at der findes to centrale begreber for strukturer: de kan enten udfolde sig indenfor begrebet tid eller de kan være uafhængige af tiden og således udspille sig udenfor tid. (Denne skelnen er også brugbar inden for klassiske analyser: f.eks. kan man definere forskellen på Boulez og Nono med at deres strukturer udspiller sig henholdsvis udenfor og inden for begrebet »tid«). I det følgende starter jeg med at definere en struktur uden for tid, eksemplificerer den udfra indledningen til Akrata, og ender med at overføre den til et forløb i tid, nemlig som »strategisk musik«.

Xenakis tager sit udgangspunkt i en ikke hierarkisk beskrivelse af skalabegrebet (skalabegrebet bruges her i en vid betydning også omfattende modi og 50'ernes tolvtoneaggrega-ter). Herved opnår han at kunne bruge mængdelæren på det tonale materiale. Lad os her begynde med en heltoneskala: c, d, e, fis, gis, ais, c, -, — etc. Hvis vi tildeler de kromatiske toner en fortløbende nummerering startende med c=0, cis=l, d=2 osv. bliver heltoneskalaens numeriske udtryk den uendelige mængde (0,2,4,6,8,10,12,-, osv.) dvs. mængden af lige tal som symbolsk kan udtrykkes som 2ø, hvilket populært (!) udtrykt læses som: mængden af O'te elementer i en gruppering på to elementer af samtlige grundelementer! Udtrykt klarere:

0,1,2,3,4,5,6/7,8,9,10,- osv.
0,1,0,1,0,1,0,1,0,1,0,1,-osv.

en sådan parvis gruppering hedder modulo 2.

Heraf ses at de to heltoneskalaer kan udtrykkes som henholdsvis 2ø og 21 alt efter om de udgår fra c (=0) eller cis (=1).

En skala af små tertser: c, cis, d, dis, e, f, fis, g, gis, a, ais, h, - osv.

O, l, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 osv.

mod. 3 O, l, 2, O, l, 2, O, l, 2, O, l, 2, - osv.

udtrykkes som 30 såfremt den udgår fra c,

udtrykkes som 31 såfremt den udgår fra cis,

udtrykkes som 32 såfremt den udgår fra d.

Ved at kombinere disse udtryk med de elementære mængdeberegninger jeg beskrev i afsnittet om Her-må, kan man udtrykke mere komplicerede skalaer som f.eks. durskalaen:

(32n4o)u(31n41)U(32n42)y(3o043)

hvilket udlydes således for c=0:

(32n40)=(0, l, 3,4,6,7,9,10 -)n(0,4 -)=(0,4-) hvilket er tonerne (c, e).

(31n41)=(0, 2, 3, 5, 6, 8, 9, 11 -)fi(l, 5, 9 -)=(5, 9 -) hvilket er (f, a).

(32n42)=(2, 5, 8, 11 -)n(2, 6, 10 -)=(2 -) hvilket er (d).

(30n43)=( l, 2,4,5,7, 8,10,11 -)n(3,7,11 -)=(7,11 -) hvilket er (g, h), (c, e)u(f, a)u(d)u(g, h)=(c, d, e, f, g, a, h)

Produktet af de to sigte-faktorer (i dette eksempel 3 og 4) viser med hvilken periodisitet sigten gentager sig selv, i dette tilfælde i oktaven, da 3x4=12.

Da folkemusik fra hans hjemegn og byzantinsk kirkemusik spiller en stor rolle som inspirationsgrundlag for Xenakis, er det klart at de skalaformer han konstruerer med sigteteorien 1) ikke er baserede på ok-tavperiodisitet og 2) ikke altid er baseret på halvtonen som »kromatisk« grundlag. Her er vi ved kærnen i Xenakis' brug af matematikken. Hans inspirationsgrundlag bliver ikke overtaget ukritisk, men bliver gennem matematikken gjort generel, så det musikteoretiske grundlag har referencer til, men ikke æstetisk er knyttet til specifikke kendte musikformer.

Strategi

Ovenstående tegnstreng for durskalaen (L(3, 4)) kaldes etudsagni sproget L. Faktorerne i parentesen angiver de modulo der karakteriserer udsagnet. Et udsagn i sproget L kan gøres til genstand for en logisk transformation (f.eks. L (3, 4)-» L (5, 6)-L (7, 8)- osv.), hvilket i den klassiske musikteori er analogt med f.eks. begrebet »modulation«.

En sådan transformation kaldes en metabole«.

Harakteristisk for ovennævnte metabole L (3,4)-L (5, 6)-L (7, 8)- osv. er en stadig udvidelse, der i princippet er uendelig. I Akrata anvender Xenakis en metabole med helt andre egenskaber. Han sætter den øvre grænse for intervalstørrelsen i de anvendte sigter på 18 tone-trinsenheder (i et kromatisk felt svarer dette til oktav+tritonus) dvs. at grundmængden er på 18 intervaller. Herefter udvælger han fra denne grundmængde en intervalmængde (A) for hvilken det gælder at dens elementers parvise produkter modulo 18 giver et element inden for A-mængden. Dette kaldes en »lukket« metabole. Der findes kun to sådanne mængder inden for grundmængden på 18 intervaller nemlig:

Al=(l, 7, 13) og

A2=(l, 5, 7, 11, 13, 17).

Med den nævnte metabole eksisterer der 6 mulige »veje« gennem de to A-mængder. Nedenfor ses et eksempel på een af disse »veje«, hvor jeg har antydet metabolens beregning af andet og tredie led:

L(5, 13)-[5xl3=65/(18x4)=ll; 13x11=143/(18x7)=17]-L (11, 17) L(ll, 17)-[1lxl7=187/(18xl O)=7; 17x7=119/(18x6)= 11]-L (7, 11) L(7,11)-L(5, l)-L(5,5)-L(7, 17)-L(11,7)-L(5,17)-L(13,5)-L(11,1)-L(11, 11)-L(13, 17)-L(5, 13) der lukker cyklus'en.

Den lukkede metabole sikrer at de intervalsigter tonematerialet udvindes af, holder sig inden for et snævert repertoire, og det medfører en høj grad af strukturslægtskab i toneklasserne.

Som det var tilfældet med computerprogrammerne tildækker Xenakis også udgangspunktet for Akrata med et røgslør af generelle former og divergerende specifikke udformninger, så man må føle sig frem uden at være sikker på at opnå et fuldgyldigt resultat. Jeg har taget mit udgangspunkt i den generelle formel for Nomos Alpha som vi finder den i »Formalized Music«:

L (m, n) =

hvor vi antager at m og n er elementer i mængden A2= (15 5,7,11,13, 17). Ved at undersøge Akratas toneomfang finder vi at B2 (subkontra B, der er kontrafagottens dybeste tone) er den dybeste tone, hvorfor vi tildeler den tallet 0. Toneforbruget i takt 1-20 af Akrata er flg.:

Det omfatter de toner hvis talmæssige udtryk er:

(28, 29, 30, 31, 34, 35, 36, 37, 39, 42, 43, 44, 49, 50, 51, 52,)

Vi lægger straks mærke til de fire kromatiske felter, der netop ligger med syv trin mellem begyndelsestonerne. Det er derfor enkelt at antage at udtrykkene 7o U71U72 eller 73u74u75u76, der begge passer ind i den generelle formel, indgår som formlens sidste eller første led. Restmængden er nu (31, 34, 39, 52). Idet vi kun undersøger området 28 ^ Om ^ 52 finder vi at ?3-mængden indeholder (31, 52) men derudover indfører (38, 45). Det er nærliggende at antage at 73 indgår i formlens midterste led og da afstanden mellem 34 og 39 er fem, kan vi antage, at vi befinder os i L (5, 7). Derved finder vi let at (5øu53)n73 indfører tonerne (31, 52) uden at lægge nye elementer til inden for det undersøgte område 28

- °m - 52-Idet m==5 f01êer at (34» 39) må stamme fra formlens første

led (7i U7j U7k U71)n54. Eksperimentelt finder vi herefter at (i, j, k, 1) £(4,6) og her slutter analysen med resultatet! ____

(7iü7:ü7k U71)n54Ü(50(j53)n73a70U71ü72

gældende for (i, j, k, 1) £(4, 6).

Vender vi tilbage til metabolen finder vi at det samlede forløb bliver den eneste af de seks »veje« gennem A ^ og A2 der undgår et udsagn i sproget L, der har to identiske modulo (L (x, x)). Xenakis har bevidst undgået et sådant, der ville have medført en altfor simpel og unuanceret skalastruktur.

Metabolen for Akrata har vi fundet er:

L (5, 7)-L (17, 11)-L (7, 5)-L (17, 13)-L (5, 11)-L (l, 11)-L (11, 13)-L(17,5)-L(13, 11)-L (17, 7)-L (11, 5)-L (l, 5)-

L (5, 7)

Begrebet »heredité«

Evryali for piano, komponeret 1973.

Dette værk kategoriserer Xenakis i gruppen af »heredité«-værker. Denne gruppe omfatter bl.a. værkerne Nuits (1967), Erikhthon (1974), Gmeeoorh (1974) og Khoaî (1976). Med begrebet »heredité« mener Xenakis en kompo-sitionsproces hvor en hvilken som helst tone i et lineært forløb kan

^ e""

gøres til udgangspunkt for et nyt lineært forløb. Visuelt er formen ligesom et træ: først har vi stammen der deler sig i grene, disse deler sig igen i andre grene og tilsidst ender vi med en mængde kviste. Mængden af kviste er et globalt fænomen, hvor deltaljen har mindre betydning. Der er altså tale om en overførsel af visuelle figurer til auditive strukturer. En sådan overførselsteknik finder man allerede i Xena-kis' to første orkesterværker, men »heredité«-begrebet, hvis karakteristiske visuelle udtryk hentet fra værket Erikhthon er gengivet som eks., er opstået som følge af erfaringer fra computeren i Centre d'Etudes de Mathématique et Automatique Musicale (C.E.M.A.Mu.) i Paris.

I C.E.M.A.Mu., hvis leder han er, råder Xenakis over et enestående computeranlæg der bl.a. indeholder et stort tegnebord, hvis koordinater kan indstilles til hvilken tids-og tonehøjdeekvidistans man måtte ønske, og derefter afspille det indtegnede. Det er dette anlæg (l'UPIC) Xenakis bruger bl.a. til studier af børnekomposition. Selv om Xenakis selv hæfter »he-redité«-betegnelsen på Evryali er det en sandhed med modifikationer: værket indeholder ikke kun visuel-auditiv transformation, men også en lang række andre strukturer, inden for hvilke enkeltforløb kan være beregnet stochastisk. En fuldstændig analyse er meget omfattende, så det følgende forsøg må derfor være meget ufuldstændigt. Jeg har udvalgt et par karakteristiske steder der belyser den udvikling der startede i Xenakis' produktion i begyndelsen af 70'erne væk fra det teoretiske og mod det sanselige. Nodeeksemplet her indtil viser begyndelsen af Evryali: fire takters rytmisk introduktion, fulgt af et afsnit der udspiller sig i seks dynamiske niveau'er (fff, ff, f, mf, pp, PPP).

Hvert af de dynamiske lag opererer med et oktavfikseret toneudsnit, der for de flestes vedkommende indeholder de samme strukturer som vi fandt i A-klassen i Herma: det diatoniske felt og tretonegrup-peringen (stor sekund + stor terts = tritonus):

Hvis hver tonemængde samles inden for en oktav finder vi at hvert dynamisk lag danner et eller to tetrachorder bestående af tre heltonetrin, hvoraf det midterste i tre tilfælde er delt i to halvtonetrin:

Tilstedeværelsen af denne tetra-chordstruktur er inspireret af en teori fremført af Jacques Chailly (kapitlet »Vers une metamusique« i Musique-Architecture pg. 43ff.), der påstår at den byzantinske musik ikke byggede på underdeling af oktaven, men af kvarten - tetra-chordet. Dette har inspireret Xena-kis til at konstruere en global tonefordeling baseret på tetrachorder over hele det mulige tonemateriale på klaveret: lad os se på side 6 i Evryali - eks. til venstre.

Fra og med slutningen af anden takt på denne side benyttes flg. toner: (Se øverst næste side).

Denne globale tetrachordstruktur har den meget specifikke egenskab at der på hver af dens trin kan stables en akkord udelukkende bestående af store septimer. I dette afsnit af Evryali interfererer otte sådanne akkorder med et rytmisk modul der hele tiden varieres let:

Klammerne og deres minimering henviser til nedenstående opstilling over mulige opdelinger áf rene og forstørrede tetrachorder.

Musikken gestaltes i en hurtig svingning mellem klaverets yderregistre hvad der kommer tydeligt til udtryk ved indskrivning i et koordinatsystem sådan som jeg har gjort det i det flg. eksempel (Se øverst næste side). De to første takter på side 6 af .'Evryali er en anden meget karakteristisk gestalt hos Xenakis, man finder den også i andre værker bl.a. Synaphai (1969). Denne gestalts grafiske udtryk ses til venstre i eksemplet. Indtegning i et koordinatsystem giver ofte et udmærket overblik over Xenakis' meget arkitektoniske musik. Musikken selv er dog meget mere righoldig og det kan kun opdages ved en møjsommelig fænomenologisk analyse.

Et forsøg på at opstille et videnskabsteoretisk grundlag for forståelsen af Xenakis' musik

Jeg har allerede flere gange opereret med en skelnen mellem to lytte-måder: 1) en kvalitativ og 2) en kvantitativ, uden at práve at definere deres egenskaber og perceptio-nelle forskelle. Denne skelnen er inspireret af landvindinger inden for vort århundredes videnskab og tildels nødvendiggjort af efterkrigstidens musikalske »avantgarde«. Der er væsentlige analogier mellem videnskab og kunst der fremhæver nye kvaliteter i den kunstneriske perception. I forordet til 2. udgave af Formalized Music fremhæver Xenakis flg. slægtskab mellem kunst og videnskab:

»Arts (visual, sonic, mixed...) part-ly inferential and experimental. Sciences (of man, natural) Physics, Mathematics, Logic. Entirely inferential and experimental.«

De første årtier i vort århundrede blev revolutionerende for vor vesterlandske kultur. Inden for kunst, videnskab, politik og filosofi lagdes grunden til en nytænkning, der har fået en afgørende betydning for os. I de klassiske videnskaber var der især ét område, der fornyede sig fundamentalt, nemlig atomfysikken. Når elektronens egenskaber skulle beskrives, kunne det ikke gøres eentydigt, sådan som det ellers havde været et krav inden for den klassiske fysik. Det blev nødvendigt at acceptere samtidighed af to beskrivelser, der gensidigt udelukkede hinanden: partikelbillede og bølgebillede! Dette paradoks og dets løsning i Werner Heissenbergs ubestemthedsrelationer, indeholdt en anskuelsesmåde, der på den ene side inkluderede den klassiske fysik, men som på den anden side åbnede for helt nye, men almene, fysiske beskrivelser. Løsningen på paradokset medførte, at det blev erkendt at l ) enhve