Horisontal og vertikal proportionering - en skitse

Horisontal og vertikal proportionering - en skitse

AF IVAR FROUNBERG

I en tidligere artikel i DMT(1) har jeg statistisk historisk søgt at tilbagevise den »prædeterminerede serialismes« overvejende dominans ved feriekurserne i Darmstadt. I nærværende artikel vil jeg sandsynliggøre at den faktiske serialismes hovedlinie 1) absolut ikke væsentligst var orienteret mod »prædetermi-nerethed« samt (2) at den meget hurtigt i sin udvikling blev åbnet med en »gestalt-tænkemåde^, der stadigvæk indeholder et uudnyttet potentiale for komponister.

Udviklingen ud af den rene rækkepoly-foni (som er den der indeholder det prædeterminerede element) skete hurtigere end de fleste forestiller sig. Når man har opgivet at analysere en række såkaldte »serielle« værker af Stockhau-sen og Boulez udfra den klassiske rækketeknik, har man frejdigt begrundet det med at permutationsteknikkerne var blevet så indviklede at de ikke kunne af dækkes. Det understregede samtidigt kritikken af serialismens »fortænkthed«! Den allermest nærliggende tanke: at den serielle analyse var et forkert udgangspunkt - den tanke gjorde man sig ikke. Ingen har fæstnet sig ved at den »prædeterminerede serialismes« komponist per excelence: Pierre Boulez (»Structures« bd. I) hurtigt lagde Schoenberg bag sig og knyttede an til Webern, at Boulez i slutningen af 40'erne havde et ideudvekslings-fællesskab med John Cage, samt at Darmstadts Varèse-revival havde et dybere indhold end at Varèse var foregangsmand m. h. t. støj elementer (på dette område kunne man også lære af Milhaud).

Hvad har Webern, Varèse og 40'ernes Cage tilfælles?

De følgende analyseeksempler vil vise et slægtskab på et område jeg foreslår man kalder »proportionering«, d.v.s. tilstedeværelsen af et fikseret talmæssigt forhold mellem en række gestalter. Såfremt disse gestalter er defineret af deres varigheder (enten på mikroplanet: tonelængde, eller på makroplanet: formafsnit) kalder jeg proportioneringen horisontal, mens tonehøj demæs-sige proportioner kaldes vertikale. Historisk kan der sandsynligvis påvises et væld af eksempler på bevidst horisontal proportionering (bl.a. hos Guillaume de Machaut(3)) - et særligt frapperende eksempel har jeg hentet fra renaissan-cen hos komponisten Girolamo Fresco-baldi. Her er den horisontale proportionering ikke alene »gylden« men den afspejles også talmæssigt på det vertikale plan.(4)

Værket er hentet fra Frescobaldis II.bog af Toccataer der først udkom i 1627. Toccataen er bygget over fem orgelpunkter: G, C, F, A, D og kadence rer tilslut til G. En optælling i lige lange takter af orgelpunkternes længde kan opstilles således:

Afsnit: I II III IV V
Orgelpunkt: G C F A D (G)
Antal Takter: 8 13 14 22 15
Proportioner: 8 : 13
21 : (13)
(34) : (21)
(21) : (13)

Tal i parantes angiver en tilnærmet værdi. Med tilnærmelser på ±2 takter er afsnittene proportioneret i det gyldne snits proportioner: 8:13:21:34; endvidere er det interessant at der er en tendens til en hierarkisk opbygning a la Per Nørgaard: summen af afsnit I og II forholder sig til afsnit III og summen af dette forholder sig til afsnit IV. Ligeledes er det interessant at bemærke at satsens stærkeste harmoniske skift, nemlig fra F-dur til en A-dur akkord, er placeret i værkets midte (talforholdet 35:37).

Hvis man omtyder de fra idealproportione-ringen afvigende takttal til tonehøjder ved en nummerering af den kromatiske skalas trin således at C = l, Des = 2 o.s.v. til H = 12 får man følgende:

Afsnit: I II III IV V
Takttal: 8 13 14 22 15
Mod. 12: =8 =1 =2 =10 =3
Tonehøjde G C Des A D

Bortset fra afvigelsen i orgelpunkt III ser man en nøje overensstemmelse med de tonehøjder Frescobaldi faktisk har benyttet. Afvigelsen i tredie orgelpunkt lader sig forklare med tonen Des' uanvendelighed i datidens stemningssystem. Frescobaldi vælger derfor en anden tone med terts-slægtskab til det efterfølgende orgelpunkt på tonen A.

Horisontal Proportionering

Standardeksemplet på horisontal proportionering i vort århundrede er det gyldne forhold i l.sats af Belå Bartoks »Musik for strengeinstrumenter, slagtøj og celeste«. Dette værk er skrevet i 1936, men er hverken det første eller mest elegante eksempel. Den pris bør nok gå til Igor Stravinsky, i hvis »Blæsersymfonier« Karl Aage Rasmussen har påvist en omfattende proportione-ring(10). Messiaen er et andet navn der kan nævnes i forbindelse med horisontal proportionering så de to følgende eksempler er valgt ud af et righoldigt materiale.

Edgar Varèse: Intégrales (1924/25). Undersøgelsen omfatter det indledende Andantino-afsnit til og med takt 31. Dette afsnit konstitueres af fire musikalske elementer:

a) en signal melodi (alternerende i klar., obo og trp.)

b) en højtplaceret akkord (2 fl.picc. og klar.)

c) en dybtplaceret akkord (3 trbn.)

d) en vekslende slagtøjssats.

De tre førstnævnte elementer inddeler klart de formelle indsnit hvis længde i fjerdedelsnoder er angivet nedenfor:

39 1/2 + 39 1/2 + 29 1/2 + 16 1/2

27 + 12 1/2 13 +26 1/2 16 1/2+13 9 + 7 1/2

9+18 5+7 1/2 8+5 10+8 1/2 +8 7+9 1/2 8+5

Tilnærmet til »rene« proportioner fås følgende skema:

4 : 4 : 3 Slut-
2 : 1 1 : 2 16.5 sætning: 16.5
1:2 5:8 8:5 5:(4+4) 8 : 5

symmetrisk dannelse. quasi-symmetri

De proportionsmæssige symmetrier afspejles i en symmetrisk dannelse i den klanglige parameter. Signalmelodien spilles i flg. rækkefølge af instrumenterne: Klar.-trp.-klar.-obo-klar.-trp.-klar.

»Rækken« er symmetrisk omend vægtfordelingen gør symmetrien skæv da fraserne som følge af proportioneringen ikke er lige lange.

John Cage: Strygekvartet (1950) Ligesom i en række tidligere værker (f.eks. »Sonatas and Interludes«5)) angiver Cage i forordet at værkets rytmiske struktur er 2.5 : 1.5, 2 : 3, 6 : 5 og 0.5 : 1.5. I partituret finder vi at disse proportioner afspejler sig i 22 takts perioder (denne periodik genfinder vi i Stockhausens »Kontra-Punkte« fra 1952/53). lait indeholder strygekvartetten 22 perioder, der er fordelt på de fire satser, således at sats I, II og IV udgør den ene halvdel, mens sats III udgør den anden (altså proportionen 11:11).

Første sats består af 4 perioder delt i forholdet 2.5 : 1.5, anden sats af 5 perioder delt i forholdet 2:3, tredie sats af 11 perioder delt i forholdet 6:5 og endelig består sidste sats af 2 perioder delt i forholdet 0.5 : 1.5. Kigger vi nærmere på første sats og regner i henholdsvis takter og fjerdedele kan vi opstille følgende skema:

55 takter 33 takter
5 : 3
22 takter 33 takter 11 takter 22 takter
2 : 3 1 : 2
=88 ikke medtaget =44 ikke medtaget
55 +33 i undersøgelse 24 +20 i undersøgelse
5 : 3 6 : 5
22 +33 22 +11
2 : 3 2 : 1
14 : 8
6: 8 3: 5

Selvom hierarkiet ikke er komplet i dette analyseforsøg ser man alligevel hvordan proportionerne afspejler sig fra formens todeling i forholdet 5:3 (hvilket er identisk med Cages 2.5:1.5). På næste niveau genfinder vi forholdet 2:3 som stammer fra formproportioneringen i anden sats. Tredie niveau indeholder forholdet 5:3 der er satsens egenproportion samt 6:5 som stammer fra formproportionen i tredie sats. På næstnederste niveau (lige over mikro-tidsplanet) finder vi forholdet 14:8 som vi ikke har set før. Denne proportion som også kan udtrykkes som 7:4 finder vi på makrotidsplanet hvor det er proportionen mellem sats II, IV (5+2=7) og sats l (=4). Dette forhold genfindes på andre niveauer og i andre satser der ikke er medtaget i dette analyseforsøg.

Vertikal Proportionering

Gennem musikhistorien og frem til 0.1925 har den vertikale proportionering været knyttet til skalabegrebet -først og fremmest kirketonearternes og dur/molskalaernes fælles intervalensemble med forskellig fordeling af hel-og halvtonetrin. Selvom slutningen af det 19.århundrede indførte en stadigt mere omfattende brug af halvtonen skete der ikke nogen egentlig fornyelse før Edgar Varèse og Anton Webern mere konsekvent udviklede kromatiske akkorder der med deres oktavfikse-rethed udgjorde strukturgrundlaget for længere musikalske afsnit. Senere har Boulez tildelt sådanne oktavfikserede akkorder navnet »aggregater«. Hele det tidligere analyserede afsnit af »Intégrales« er således bygget over to aggregater hvoraf det første strækker sig fra begyndelsen frem til takt 25 mens den sidste udgør slutsætningen:

[nodeeksempel]

I Weberns strygekvartet op. 28 er hver af de tolv toner fikseret oktavmæssigt og danner derved følgende aggregat:

[nodeeksempel]

Webern fastholder en rækkemæssig udtydning af aggregatet i modsætning til Varèse og den senere serialisme hvor aggregatets enkelte toner ordner sig i hierarkier efter deres hyppighed og vægt. Boulez stadfæster denne »hierarkisering« i bogen »Relevés d'Apprenti« bl.a. med et eksempel fra hans II.Sonate (1948) hvor et tæt kontrapunktisk kompleks på ca. tre takter har følgende aggregat som baggrund:

[nodeeksempel]

I Cages Strygekvartet fra 1950 spiller hvert instrument på et repertoire af 15-20 oktavfikserede toner gennem hele stykket. Egentlig aggregatmæssig karakter har disse toner ikke da treklangs og septimakkordsreferancerne er den primære vertikale proportionering -men alligevel! Strygekvartettens statiske karakter og hoquet-teknik udspringer af den begrænsning Cage har lagt på sig selv - en begrænsning der kan være Cages bud på en praktisk udformning af de tanker han og Boulez netop udvekslede omkring de år Cage skrev sin strygekvartet.

Karlheinz Stockhausen: »Kontra-Punkte« (1952/53)

Hovedideen på det strukturelle plan i dette værk er en stadigt skiftende proportionering mellem udstrækningen af en punkt- og en gruppestruktur indenfor en 22 takts periode. Første periode er hovedsagelig en punktstruktur, men allerede anden periode er delt i 2+20 takter, således at de to første takter udgør en gruppe-struktur mens de sidste ti takter indeholder punkter. Tredie periode (starter takt 45) indledes af en tre takters gruppe-struktur og fortsætter i de næste 19 takter med punkter. Denne helt klare proportionsændring udviskes betydeligt i løbet af værket skønt den nu og da dukker op med begyndelsens klarhed. På det vertikale plan falder gruppe-strukturerne gradvist på plads i aggregater. En antydning af aggregat eksponeres i takt 109 hvor fl., klar., harpe, vin. og cello kanonisk, i form af »aktiv harmonik«, udfylder en akkord. Straks efter (i takt 117) fikseres en gruppestruktur i et tolvtoneaggregat der fastholdes til takt 122:

[nodeeksempel]

Takt 159 indleder det afsnit hvor den horisontale proportionering dikterer 7 takters gruppestruktur overfor 15 takters punkter. Gruppe-strukturen er hovedsageligt koncentreret i klaveret, men alle toner indenfor de syv takter er fikseret indenfor følgende aggregat:

[nodeeksempel]

Der kan findes utallige eksempler på vertikal proportionering videre frem i »Kontra-Punkte« - lad mig nøjes med to eksempler yderligere. I takt 291 til 327 fikseres alle toner i forhold til tre successive aggregater, der formdynamisk spreder sig over et større og større register:
se eks. 6

[nodeeksempel]

Senere (takt 439 til 456) oplever vi at aggregatstrukturen er blevet så tæt og repetitiv at den må defineres som skala:
se eks. 7

[nodeeksempel]

Pierre Boulez: »une dentelle s'abolit« IL Mallarmé-improvisation (1958) Allerede i 1948 i IL Sonate benyttede Boulez aggregatteknik, men siden blev den forfinet via begrebet akkordmultiplikation, der tillod et indre intervalslægtskab mellem de forskellige aggregater. Boulez offentliggjorde så tidligt som 1952 denne teknik i artiklen »éventuellement« i Revue Musicale 212. Det er imidlertid vanskeligt at afgøre hvornår han faktisk begynder at benytte denne teknik, muligvis er aggregaterne der lejlighedsvis dukker op i »Le Marteux sans Martre« (f.eks. i tredie sats) udviklet med denne teknik, -helt sikkert kan brugen af akkordmultiplikation konstateres i II.bog af »Structures« (se programbogen til Wergo-indspilningen af dette værk). En analyse af de multiplicerede akkorder støder på den vanskelighed at det ofte er svært at definere hvornår et aggregat holder op og det næste begynder. Ydermere er Boulez undertiden så raffineret at flere aggregater overlejres i flere instrumenter. Alligevel er det lykkedes mig at finde en multipliceret struktur i det første aggregat i »une dentelle s'abolit« fra »pli selon pli». Denne struktur kan genfindes i senere aggregater, så den må høre til én af Boulez' grundstrukturer i dette værk:
se eks. 8

[nodeeksempel]

Det transponerede tretonemotiv består af intervallerne: en stor sekst og en stor terts. Disse intervaller genfindes i de to aggregater der henholdsvis strukturerer takterne 13-15 og 29-31:
se eks. 9 og 10

[nodeeksempel]

Det transponerende motiv indeholder en struktur (mærket »B«) der består af en lille sekst og en tritonus. Denne »B«-struktur findes ikke kun i ovenstående aggregater men i en række andre der udgør strukturgrundlaget i takterne 11-12, 15-19, 24-25 og 26-28:

[nodeeksempel]

En undersøgelse af den horisontale proportionering støder på vanskeligheder p.gr.af de hyppige tempoændringer og fermater, der tilslører overordnede proportioner. Enkelte konstaterbare proportioner i primtalsforhold leder tanken hen på Boulez' lærer Messiaen, der ofte har brugt netop disse forhold. Den instrumentale indledning til »une dentelle s'abolit« omfatter 41 fjerdedele og forholder sig til de efterfølgende 53 fjerdedele der udgør sonettens første kvartet:

Une dentelle s'abolit
Dans le doute du Jeu suprême
A n'entr'ouvrir comme un blasphème
Qu'absence éternelle délit.

Den instrumentale indlednings første forløb (=aggregat nr.l) er på to gange 23 ottendedele delt af en pause på tre ottendedele (dette giver overordnet en deling af introduktionen i forholdet 3:2). Aggregaterne i takt 13-15,15-19, 20-21 og 29-31 fylder henholdsvis 11, 19,7 og 13 ottendedele.

Primtallene genfindes på andre planer som når man tæller anslagene op for hvert musikalsk gestalt. Brugen af primtallenes komplekse talforhold understøtter den »improviserede« karakter, da rytmen på intet tidspunkt falder »i hak« i en egentlig fikseret puls. Boulez' nyeste bog »point de repère« (1981) indeholder en uddybet oversigt over de rytmiske »multiplikationer«. Denne oversigt forklarer helt hvorfor et klassisk serielt approach til undersøgelse af varigheder i Boulez' værker er dømt til at mislykkes (rytmisk multiplikation fremstiller en række gestalter der er strukturelt ensdannede omend stærkt varierede i deres ydre karakteristik!).

lannis Xenakis og sigteteorien

Xenakis' sigteteori er vel allerede velkendt og veldokumenteret for DMTs læsere, men den må alligevel nævnes i forbindelse med denne undersøgelse af vertikale proportionsteknikker(6). Da Xenakis i 1955 kritiserede rækkepoly-fonien havde han ret med hensyn til hvilke konsekvenser den havde på det perceptionelle område, men han overså at den rene rækkepolyfoni allerede var et overstået stade,2) det var kun avantgardens medløbere der manisk, bevidstløst, gentog den fordi de havde fundet en sikker akademisk metode til at skrive »ny« musik! Xenakis' første vertikale proportionering finder vi i »Herma« hvor de tre toneklasser A, B og C fungerer som aggregater. Senere definerer Xenakis »sigteteorien« der siden »Nomos Gamma« og »Akra-ta« er blevet brugt i en lang række af hans værker.

Sigterne er periodiske omend nogen gange med meget lange intervaller. Derved udgør sigterne en mellemform mellem aggregater og skala-begrebet. Jeg vil foreslå at begrebet »skala« bruges om periodiske tone-mængder der er oktav-periodiske mens »sigte«-begre-bet anvendes om tone-mængder der har en periodik forskellig fra oktaven. Ordet »aggregat« bør alene betegne ape-riodiske tone-mængder.

Den horisontale Per og den vertikale Pelle!

Det er ikke kun en tidligere DMT-forsi-de(7) der forleder til denne overskrift med frække undertoner. Hver for sig er Per Nørgård og Pelle Gudmundsen-Holmgreen de mest ekstreme danske eksempler på brug af henholdsvis horisontal og vertikal proportionering. Megen af Nørgårds »uendeligheds-musik« kan (på trods af en skin-polyfoni) reduceres til et basalt enstemmigt forløb hvorover det gyldne snits hierarkisering udspiller sig. Dette bringer alle proportioner i et 1:1 forhold, idet de alle er vekslende tilnærmelser til det gyldne snits idealproportion.

Pelle Gudmundsen-Holmgreens »kon-kretistiske« udgangspunkt fører til en stadigt fikseret gentagelse af fikserede musikalske elementer. Ligheden er slående med Cage's Strygekvartet, der måske kan udpeges som musikhistoriens tidligste konkre tistiske værk! Som hos Cage kan man hos Gudmundsen-Holmgreen være kritisk overfor at tale om aggregater, idet tonernes fikseret-hed skyldes musikkens repetitive element. Kigger vi imidlertid i andre af Gudmundsen-Holmgreens værker finder vi et tydeligt aggregat-fikseret forløb i værker som f.eks.: Mirror III (1974), Passacaglia (1977)8) og Symfoni-Antifoni (1974-77)9) alle tre bygget over aggregatet:

[nodeeksempel]

Sten Pades konklusion i analysen af Gudmundsen-Holmgreens Antifoni9) kan appliceres på et langt videre materiale end dette værk. For mig er der ingen tvivl om at den dynamiske energi der udstråler af Varèses værker hænger sammen med brugen af aggregat-teknikken - hvornår er energien størst: når den slippes løs, eller når den bindes? Aggregaterne tjener en perceptiv funktion: fraværet af tonal og pulsmæssig binding kræver en stærk indre organisation af materialet. Øjensynligt har række-organisation ikke tilfredsstillet komponister som Stockhausen og Boulez nok, derfor har de brugt den aggregatmæssige fikserethed til at tilføje en yderligere og lettere opfattelig logik.(11) Aggregaterne fungerer tydeligt som gestaltning - lytterens opfattelse af det punktuelle forløb samles efterhånden som aggregatet manifesterer sig og musikken får retning når et nyt aggregat opbygges.

FODNOTER:

(1) DMT 5 1981/82 Ivar Frounberg: »Hvad er pære og hvad er vælling?«

(2) Pierre Boulez: »points de repère« Christian Bourgois éditeur, Paris, 1981 pg. 371ff: her udnævner B. perioden 1953-55 som tiden »hvor man forlod den strikte serialisme for at opdage mere generelle og smidigere lovmæssigheder i hierarkiet aflydfænomener«. Se også beskrivelsen af rytmisk multiplikation i afsnittet »le système mis a nu« pg. 127ff. »Grupper af varigheder (rytmiske »gestalter« o.a.) føler jeg er musikalsk rigtigere end enheder af varigheder« udtaler B. i forbindelse med et interview om det gennemserialiserede »Polyphonie X« der blev trukket tilbage efter uropførelsen i 1951 (ibid. pg. 190).

(3) Marcel Fremiot: La Messe de Guillaume de Machaut (II) musique ancienne 13, Paris 1981.

(4) Eksemplet er citeret fra min artikelserie: »Girolamo Frescobaldis musik for tasteinstrumenter« Organistbladet 7, 8, 9 og 10, Kbh. 1979.

(5) Poul Griffiths: Modern Music since 1945 pg. 34ff »Cage and rythmicstructuring«.

(6) DMT 4 1982/83 Ivar Frounberg: »Teori og praksis i lannis Xenakis' kompositionsteknikker«.

(7) DMT 11982/83.

(8) DMT 4 1978 Hans Abrahamsen: »om Passacaglia«.

(9) DMT 1980 Sten Pade: »Antifoni - en analyse« .

(10) Karl Aage Rasmussen: En hjernestyrker: 80'erne« Danmarks Radio 5/5-1980 genudsendt 24/11-1982.

(11) Også hos Luciano Berio spiller aggregatteknikken en rolle for strukturen, i de sidste »Sequensza«-værker (VII-IX). I det ny tidsskrift Contrechamps' nr. l, september 1983 findes en artikel af Philippe Albera om dette emne.