piu forte!

- en kortfattet indføring i sætteori i musik. Komponisten Ivar Frounberg anvender selv sætteori i sine egne kompositioner. Teorien har han også anvendt i sine Boulez-analyser (se DMT nr. 3,4 og 5/6 1984/85). Her følger en introduktion til sætteori eller 'analyse efter Forte-metoden, som den også er blevet kaldt.

Af Ivar Frounberg

I 1973 udkom Allen Fortes bog "The Structure of Atonal Music". Bogen er delt i tre afsnit: i første beskrives hvorledes mængdeoperationer kan anvendes på kromatisk tonalt materiale -her indføres en terminologi for disse operationer; i andet afsnit vises eksempler på sæt-teoriens anvendelse som analyseredskab (på udvalgte steder af især Stravinsky, Skrjabin, Schönberg og Webern); endelig indeholder tredie afsnit en række tabeller over samtlige mulige tonegrupperinger på fra tre til ni toner udvalgt indenfor den temperede skalas tolv tonetrin.

Mange af Fortes basale idéer har været foregrebet af komponister og teoretikere i 60'ernes USA. Senere har John Rahn (University of Washington, kendt indenfor computermusik) og svenskeren Tore Eriksson (fra Lunds Universitet) videreudviklet sæt-teorien. Primærthar alle de her nævnte referencer benyttet sæt-teorien som analytisk redskab på eksisterende musik, men undertegnede har, som flere andre komponister, benyttet teorien som basis for kompositions-stukturer siden 1984, og jeg skal senere vende tilbage til nogle af de redskabsmæssige muligheder der ligger i denne værdifrie måde at anskue det tonale materiale på. I DMT nr. l, 1975, er Fortes førstebog anmeldt af Jan Maegaard, mens den i 1978 udkomne analyse af Stravinsky's "Le Sacre du Printemps" er udførligt anmeldt af Pelle Gudmundsen Holmgren i DMT nr. 4, 1980. Endelig er der på dansk udkommet en publikation fra Musikvidenskabeligt Institut, Københavns Universitet 1988: "Musikalsk analyse efter Forte-metoden", redigeret af Jan Maegaard.

I eksempel l ses et udsnit af en duo: lad os analysere denne, for at eksemplificere sæt-teorien. Førstogfremmest interesserer vi os ikke for tematik eller rækkedannelser -vi vil operere med uordnede mængder - derfor kan forløbet reduceres til: (se eks. 2).

Disse akkorder ses alle at indeholde seks toner, nu kender vi mængdernes kardinaltal (6). Lad os se om de er beslægtede: vi må reducere dem til en sammenlignelig form. Vi søger deres normalorden. Den findes ved (1) at transponere alle toner til samme oktav, (2) at finde den form hvor tonerne ligger tættest, d.v.s. hvor intervallet mellem første og sidste tone er mindst. (3) Hvis der findes flere udgaver med samme mindsteinterval, vælges den, der har det mindste interval mellem første og anden tone som bedste normalorden (hvis der stadigvæk er flere udgaver, vælges den, med mindste interval mellem første og tredie tone, etc.). Vores eksempel ser nu således ud: (se eks.3).

Vi ser nu at akkorderne er 'identiske' transpositioner af en fælles primærform, denne findes ved at transponere sættet således at første elementhar værdien 0. Vi springer her fra noder til et talmæssigt udtryk, alle de hidtige operationer kunne ogsåhaveværetudførtpå talmængder. Talmængden (mængder noteres mellem kantede paran-teser) noteres således: [0,1,2,5,6,7], og den er udtryk for toneforrådet, der forkortes: pc.

Nu kan vi undersøge sættets intervalindhold. Vibegynder med mulige intervaller (=differenser) fra første tone til hver af de øvrige, idet vi dog lader de komplementære intervaller være identiske: l, 2, 5, 6, 7(=5),

-fra anden tone til hver af de efterfølgende: l, 4, 5, 6,
-fra tredie tone til hver af de efterfølgende: 3,4, 5,
-fra fjerde tone til hver af de efterfølgende: l, 2,
-fra femte tone til sjette tone: 1.

Disse samles så i intervalvektoren, hvis første tal indicerer antallet af små sekunder (=l-taller), andet tal angiver antallet af store sekunder (=2-taller), tredie tal antallet af små tertser (=3-taller), etc.: 421242

ic = 421242

Gennem en systematisk undersøgelse af alle kombinationer af seks toner valgt blandt de tolv kromatiske toner fandt Forte at der kun findes 50 forskellige (såfremt vi anser omvending for identitetsskabende). 15 af disse danner par ved at have fælles ic. Disse par -der, for kardinaltal 6, iøvrigt er komplimentære par indenfor de tolv kromatiske toner- mærkes med et z og kaldes derfor z-re-laterede par. Forte opstiller en tabel og nummerer for overskuelighedens skyld de 50 sæt med numre fra l til 50: Vores' sæt kaldes efter tabelopslag nu 6-z6.

Yderligere systematisk undersøgelse af mulighederne bringer Forte frem til at der eksisterer:

38 forskellige 5/7-tonegrupperinger (med 6 z-relaterede par),

29 forskellige 4/8-tonegrupperinger (med 2 z-relaterede par) og endelig

12 forskellige 3/9-tonegrupperinger (ingen z-relaterede par).

Man bemærker det forholdsvis lille antal sæt med fælles intervalindhold: interval vektoren beskriver ganske entydigt en harmonisk identitet.

Når der i det ovenstående kan tales om identitet, erdet et nuanceret identitets-begreb der arbejdes med: der eksisterer identitet i én eller flere af et større antal synsvinkler, men der opereres ikke med fuld identitet (noget sådant eksisterer formodentligt ikke!).

Vi har nu fået etableret et redskab for beskrivelse af en given mængde udvalgt blandt de tolv kromatiske toner. For at undersøge lighedsgrader og beslægtethed mellem flere sæt indføres flere begreber og metoder.

Hvis et sæt med kardinaltal N er indeholdt i et sæt med højere kardinaltal kalder Forte dette et subset, -omvendt taler han om superset. Tallet af sub/supersæt er meget stort og derfor insignifikant som analyseredskab, derfor indfører Forte sætkomplekset K. For dette gælder at der eksisterer en K-relation [(1) når sættet S kan indeholde eller indeholdes i sættet T] eller [(2) når S kan indeholde eller indeholdes i Ts komplimentære sæt].

Der eksisterer også et stort antal K-relationer, så Forte indfører en endnu snævrere regel: istedetfor K-relatio-nens enten (1) eller (2), gælder for Kh-relationen : både (Dog (2).

To sæt af kardinalorden N med et fælles subsæt af kardinalorden N-1 kalder Forte Rp-relaterede. F.eks. er sættet [0,1,2,6,7] indeholdt i de to Rp-relaterede sæt

[0,1,2,5,6,7] og [0,1,2,6,7,8] (hhv. K6-z6 og K6-7).

Vender vi os mod undersøgelser af relationer mellem intervalvektorer opstiller Forte følgende tre relationer:

RO ingen overensstemmelse mellem to sæts vektorelementer.

R1 maksimal overensstemmelse mellem to sæts ic: identitet mellem:
alle seks elementer, dog er to elementers placering ombyttet.

eks.: 231211 og 213211

R2 maksimal overensstemmelse:
identitet mellem fire elementer i to sæts ic.
eks.: 343230 og 303630

Ved at opstille kombinationer af Rpog Rx(x=0,1,2) kan man definere forskellige grader af beslægtethed.

Forte opstiller tabeller over alle disse relationer så man ikke behøver at gennemføre disse ukomplicerede, men ikke nemt gennemskuelige mængdeberegninger. Ligheden mellem to intervalektorer kan, som John Rahn gør det, undersøges ved at opstille et aritmetisk indeks for graden af tilstedeværelse af fælles elementer:
6-z6 ic= 421242
6-14 ic= 323430

321230 findes ved at vælge mindste fælles element, indekset etableres ved at summere elementerne: 3+2+1+2+3+0=11.

Hvis man udgår fra forskelligheder kan man subtrahere de to intervalvektorer:
6-z6 ic = 421242
6-14 ic = 323430

l 0-2-2 12 de enkelte elementer opløftes til 2. potens, summeres og der uddrages kvadratroden af summen:

Sum = (l)2+(0)2+(-2)2+(-2)2+(l)2+(2)2
Ulighedsindeks = Vsum = Vl4 = 3.74165

Rahns indeks stiger for øget lighed, ulighedsindekset falder derimod og antager værdien O når de to sæts ic er identiske.

Tore Eriksson generaliserer videre i sin bog "Atonale Regioner" (Lund, 1984) og undersøger familieskabet mellem intervalvektorer. Ved at udgå fra størrelsen af de enkelte elementer i ic etablerer han 'regioner' med sæt der har samme intervalkarakteristik.

Det vil føre for vidt at gå i nærmere detaljer med flere afsæt-teoriens detaljer. Lad mig slutte med nogle tanker af mere almen karakter.

Brugen af sæt-definitioner tillader komponisten at integrere harmonik og melos på en langt mere tilfredsstillende måde en de gængse række-teknikker (rækkebegrebet strækker sig i min terminologi langt udover snæver 12-tonekomposition). Rækkens identitet ligger i en given følge af intervaller/toner og er derfor i sin karakter mono/poly-fon: harmonik kan opnåes enten ved tilfældige, svært kontrollerbare, sammenstød mellem de enkelte rækkeforløb eller gennem suspendering af tonefølge, med deraf lige så svært kontrollerbare akkord-relationer. Sættet fungerer mere som en skala og derfor vil alle valgte toner, melodiske såval som harmoniske, referere til dets basale intervalmæssige kvaliteter. Udfra ovennævnte data- og relations-beskrivelser (samt selvopfundne) kan komponisten definere regelsæt (sådan som Magnus Lindberg beskriver det) for sæt-relationer og derved samtidigt opretholde kontrol af vertikale/horisontale relationer, da systemet på en værdifri måde beskriver matematiske egenskaberfremfor kompositions-teknikker og algoritmer.

Man kan kritisere sæt-teorikomplekset for dets om gang med identitets-begrebet (det er udgangspunktet for Pelle Gudmundsen-Holmgreen i DMT nr. 4, 1980). Min oplevelse er imidlertid at denne begrænsning, kombineret med den konstante og latente valgmulighed (hvor rækkebegrebets indarvede årsag -» virkning indeholder langt snævrere valgmuligheder) fastholder komponistens ansvarlighed overfor det hørte fremfor det strukturelt givne uden at han derfor giver køb på at operere med strukturel identitet i mange forskellige grader.