Tankens billeder

Tre satser om den evige fraktal

Af Karl Aage Rasmussen

I

Hvad vi ikke kan forestille os, kan vi næppe heller tænke. Det billede vi gør os af verden er netop ofte: et billede. Derfor er det f.eks. - trods tålmodige fysikeres ihærdige pædagogik igennem en menneskealder - stadig svært for de fleste at forestille sig et uendeligt rum eller en tidens og universets begyndelse, selvom begge dele faktisk tilhører vores almenviden. I det berømte mellemværende mellem Bohr og Einstein om kvante-hypotesen almengyldighed ( - at tingene ændrer sig uforudsigeligt netop idet/fordi vi måler på dem, f.eks. når det kvan te lys der er nødvendigt for bestemme en partikels position samtidig virker ind på dens hastighed, og dermed position) aftegner Einsteins vidunderlige billede stadig tankens endestation: »Mener du virkelig« - spørger han Bohr-» at når en mus kigger på universet, så ændrer det sig?« Og tøvende må Bohr bekræfte det absurde billede, vel vidende at grænserne for vores forestillingsevne her gør selve 'sandheden' til grin. - Astrofysikeren Stephen Hawking indleder sin bestseller "A Brief History of Time" med en anekdote om en fysiker der holder foredrag om solsystemet. Til slut rejser en lille dame sig bag i salen og udbryder: »Sikke noget sludder. Jorden er en stor skive der ligger på ryggen af en kæmpe skildpadde !« Videnskabsmanden smiler overbærende før han spørger:»Og hvad står skildpadden så på ?« »De er meget kløgtig, unge mand«, svarer den lille dame, »men det er skildpadder hele vejen ned !« Og Hawking - tidens ubestridte superstar i den teoretiske fysik - indrømmer at det billede vi i dag gør os af verden, engang vil kunne tage sig ligeså grinagtigt ud som billedet af et skildpadde-tårn.

Hvad der gælder for verdensbilleder, gælder også i almindelighed i vores forestillingsverden. Vi tænker i tanke-baner, antropologerne kalder det for Mind Models , tankemodeller. Uden den altid diskutable musikalske tankemodel der hedder rum er f.eks. Schönbergfs tolv-tonemetode - og vel allerede dens forløbere i middelalderens 'nederlandske kunster' - svær at forestille sig. Tanken om et musikalsk 'objekt' som 'ses' fra oven og fra neden samt forfra og bagfra i alle 'transpositioner' har meget mere med rum end med tid at gøre. Faktisk er dét vel hovedgrunden til metodens evige mellemværende med den musikalske perception, - det er og bliver vanskeligt at opfatte tidslige fænomener nedefra eller bagfra, - taler man et sprog bagfra forstår ingen en lyd. I en ikke helt sjælden karikatur af denne musikalske tankemodel bliver de teoretiske konstruktioner til virkelighed, mens virkeligheden, musikken overses.

I den vestlige musikkultur er det almindeligt at antage at musik består af, og er identisk med sin notation. Men notationen, oprindelig en blot og bar kommunikations-symbolik, træder efterhånden i stedet for dét den skulle kommunikere, den musikalske tanke. Der opstår en musik, f.eks. hovedparten af partiturmusikken i vores århundrede, der hverken kan komponeres eller tænkes uden notation, en musik der ikke har sit udspring som klingende tanke, men i tankemodeller.

Risikoen er et symbolsprog, der bliver så effektivt at det udrydder sit eget formål. Stanislavski bad ofte sine skuespiller-elever sige ' i aften' på halvtreds forskellige måder, mens andre noterede sig alle de forskellige afskygninger af følelse ogbetydning. Men 'i aften' kan faktisk kun skrives på én måde! Sammenblandingen af væsen og fremtoning, af tingen selv og symbolet for den, må være forklaringen på at store musikområder længe (og nogle stadig) overses af den seriøse musikforskning. F.eks. partiturløs musik fra etnisk til elektro-akustisk, fra Cage til rytmisk. Det ville ikke være en ganske tom provokation hvis man hævdede at det snarere er wienerskolens visuelt-begrebslige egenskaber end dens 'lyd' der har gjort den til århundredets tema og trauma. Og tilmusikforskningenskæledæggei detellers såforsømte århundrede. På grund af musikkritikkens ældgamle alliance med musikforskningen er det næppe heller hårtrukkent at kalde 'analysérbarhed for det mest udbredte vestlige kvalitetskriterium. Musik der - som f.eks. Charles Ives' - med rette eller urette betragtes som uegnet til analyse, stilles netop derfor ofte i skammekrogen som et randfænomen.

Billedet af hvordan ét eller andet forholder sig, eller er indrettet, kan have en sådan overtalelseskraft at det fortrænger den indsigt det oprindelig var beregnet på at give. Men tegnet er ikke tingen. I eksemplet med notationen har det blot, som skyggen i H.C. Andersens eventyr, taget komandoen over sit ophav.

Også dét har antropologerne et navn til. Selve den manøvre der flytter tanken udenfor krop og sjæl ved at danne objekter eller symboler, er øjensynlig opfundet meget tidligt i udviklingshistorien. Det har været en nødvendighed for at håndtere den ydre virkelighed, især det abstrakte og komplicerede, uden at være nødt til at bevare alle detaljer i fokus hele tiden. Antropologerne kalder det extension: sprogfænomenet er en sådan 'udvidet', overført tanke, teknologi er det overførte behov for føde og klæder, kunstfænomenet overført udtryksdrift, sport overført vinderdrift o.s.v. Musikalsk notation er naturligvis en 'extension' af den klingende tanke. Men antropologerne har også noget de kalder ET, ikke en venlig lille marsmand, men etproblemkatalog. Overføringens tilbageføring - Extension Transference, den intellektuelle manøvre hvor det overførte sammenblandes med eller træder i stedet for det fænomen eller den proces der oprindelig blev overført. (Tankegangen her er refereret efter antropologen Edward T. Hall's bog "Beyond Culture", 1976).

Hvordan dette finder sted i f.eks. et fænomen som 'musikalsk formlære' er vist både velkendt og veldokumenteret. Et stykke klingende musik kan ikke have en 'form', så lidt som tiden selv kan det, men erindringen om klangene kan nok giv es form i vores hoveder, og musikværket i noteret stand kan naturligvis siges at have 'form'. Ikke desto mindre slår det statistiske gennemsnit vi kalder 'formlære' stadig tilbage på en pædagogik, der med særlige træningsprogrammer lærer selv de tungnemme at opdage 'sonaten' i kilometervis af sagesløse, klingende musikværker. Hvad der er som at insistere på at lede efter et ansigt midt i det abstrakte maleri.

Tankemodellernes ET ses vel i det hele taget tydeligst i det domæne vi kalder 'musikalsk analyse', ikke mindst når den - som desværre ofte - dyrkes som overførsel fra ét symbolsprog til et andet. Da musik lader sig dissekere i enkeltdele, toner, rytmer, klangfarver o.s.v, siger en udbredt tese at den også lader sig meningsfuldt analysere udfra disse enkeltdele. Den såkaldte 'harmoniske analyse' opstiller systemer der gør den musikalske virkelighed til stadige regelbrud og undtagelser, snarere end at se den som en mangfoldighed af unikke sprog. Analysen kan give stor indsigt i at klassificere akkorder, men den giver kun ringe indsigt i musikken, den fortæller mere om sin egen systematik end om musikken, og den løber en stadig risiko for at udelukke det indlysende meningsfulde, simpelthen fordi det ikke lader sig indpasse i systemet. Analysens ET kan nå en sådan fuldkommenhed at analytikeren helt mister kontakten med den musik han analyserer; hvem har ikke set eksempler f.eks. på den rækketekniske 'analyse' som ganske overser rytme, klang, gestus, tekstur, instrumentation o.s.v. ?

Alligevel synes det en uafrystelig vestlig vane at betragte viden der ikke kan visualiseres eller begrebsliggøres som ikke-viden. Dette rammer musikken særlighårdt, da den faktisk hverken kan visualiseres eller begrebsliggøres. Men sært nok er musikalske analytikere ofte de mest dogmatiske af alle kunstens begrebsdannere. I litteraturvidenskaben betyder 'analyse' dog fortolkning. Musikken kunne behøve en videnskab der gav musikkens centrale ikke-viden spillerum og mæle -også selv om dens tale ville blive en meget lidt teknisk tale; til gengæld kunne videnskaben i bred almindelighed så måske have særlig gavn af musikken som medium for den slags tale!

Alt dette havde jeg imidlertid næppe haft mod til at skrive, hvis ikke jeg følte mig sikker på at populister og fremskridtspartister udgør en ubetydelig minoritet blandt DMTs læsere. Hensigten er nemlig ingenlunde at moralisere over komposition som noget der rettelig bør fødes som lyd før det bliver symbol. Eller at lyse serialismen i band. Eller afsløre alle tankemodeller som vanetænkning. Snarere tværtimod. Overførslen og dens tilbageførsel er et grundvilkår, dét man vil sige og det 'sprog' man vil sige det i er siamesiske tvillinger, og tankemodeller synes mig et uundgåeligt resultat af selve den måde vores hoveder fungerer på. Vi tænker anderledes end f.eks. japanere, alene af den grund at vores sprog dannes af et hierarki af hver for sig meningsløse bogstaver sat sammen til hver for sig kun delvist meningsfulde ord, mens de japanske ideogrammer hver for sig er en tæt sammenfiltring af ofte mange forskellige betydninger; ( - sat på spidsen af Mc Luhan, når han hævder at vi i vesten begyndte at tænke på en helt enden måde efter at Gutenberghavde fået sin lyse idé....). Hvis problemet 'ET' hidtil kun sporadisk har været sat på dagsordenen, så skal der ingen særlig spådomskunst til at forudsige at det vil komme det oftere og oftere i en verden kommanderet af en 'extension' i fjerde potens: computeren! Blot er tankemodeller allerede igang med at ændre sig når de afslører sig som tankemodeller. »Når vi drømmer at vi drømmer, er vi lige ved at vågne«, mente Novalis.

Nye tankemodeller ligger bag de fleste nydannelser i vores (musik)kultur. Og ofte skal der utrolig lidt til at vende op og ned på det indvendige af vores hoveder. En excentrisk doge i Venezia ville prale med to orgler i stedet for kun ét i San Marco, og uden den tilfældighed næppe den kolossalt virksomme tankemodel vi senere har kaldt 'det koncerterende princip' (i hvert fald ikke netop på dét tidspunkt). Omvendt kan den vanedannede tankebane ses f.eks. i det pudsige forhold at komponister den dag i dag med største selvfølgelighed foreskriver 1. og 2. violin, selvom det er endog meget længe siden denne opdelings fundament i den firstemmige sats smuldrede. 4/4 har i dag status som metrisk fælles-norm, ingen tvivl om det.; - hvis en komponist ikke har noget bestemt metrisk anliggende, er det naturligt og praktisk at han noterer i 4/4. ( - Ligeti's oeuvre kan tages som eksempel blandt mange). Men 4/4 er en tankemodel der betinger tankebaner. Selve det binære rytmiske system er en tankemodel, - omkring 1240 skrev teoretikeren Magister Lambert at »alle er enige om at ingen kan synge en følge aflutter imperfekte longae«. Hvad der i praksis og på nu-dansk simpelthen vil sige at alle dengang var enige om f.eks. 4/4 som noget 'utænkeligt'! Hvorimod et metrum som f.eks. 27/16 dengang ville være ganske tilvant (3- 3- 3). I dag skriver få eller ingen musik i 27/16, og det er nok ingen tilfældighed ...

I den forstand er alle vore fælles metaforer om musik tankemodeller. Hvordan skulle en 'serialisme' være opstået uden tankemodellen tal ? Eller en collage-musik uden tankemodellen klip (fra film, båndmusik o.s.v.). Skulle John Cage's musik engang være glemt, så vil hans tankemodeller stå tilbage som nogle af århundredets mest virksomme. Ideen om en 'minimalkunst' er en tankemodel. De mange legeringer gennem hele århundredet mellem vestlige og ikke-vestlige kulturudtryk afslører en stadig søgen efter nye tankemodeller. De er overalt.

II

Og så fraktalen! - Læseren, hvis tålmod har bragt ham så vidt, har utvivlsomt gættet at også denne skumfødt nye sprogblomst for mig er navnet på en ny tankemodel. Når pludselig 'fraktal en' som besværgelse og trylleformular er over os, gribes én og anden naturligt af trang til at skærme sig mod nymodens hokus-pokus og populær mekanik. Men det er med 'fraktaler' som med andre moderigtige gensplejsninger i sproget, f.eks. postmodernisme': de kan give bolden op til en kampsport omkring deres rette definition og brug, men de kan også simpelthen benyttes som en anledning til at tale om noget interessant.

Her skal det sidste forsøges, og lad det være sagt med det samme: begrebets videnskabeligt korrekte brug, dets matematiske implikationer, Julia-mængder, Fitou-støv og strange attractors, dets sammenhæng med kaosteori og diverse special-discipliner i de (ikke længere så) eksakte videnskaber, har ringe eller ingen betydning for disse overvejelser. Begrebet er brugt som simpelt emblem for nogle nye tankemodeller, der spiller en stigende rolle i mit (og mange andres) musikskabende arbejde; modeller der har ført til ændrede tankebaner om f.eks. tid og 'form', har givet stof til nye kompositoriske strategier, skabt en række interesseforskydninger og anden privat ravage, ogfrem for alt affødt en stribe nye spørgsmålstegn.

Centrum for denne 'sære tiltrækning' er oplevelsen af friktionen mellem fuldstændig uforudsigelighed og krystallinsk enkelhed i et selv-imiterende, såkaldt selv-similært system ( - altså 'ligedannethed i det uendligt store og det uendeligt små). 'Fraktal' betyder i det følgende egentlig blot dette, samt den manøvre der i fysikken hedder 'tilbagekobling': at et systems output til stadighed i én eller anden forstand sendes tilbage i systemet igen som input, i realiteten en veltjent tankemodel: enhed og mangfoldighed !

Emnets helt bogstaveligt uendelige omfang gør det nødvendigt at begrænse sig til detaljer. Den 'tidslige fraktal' begynder naturligvis i selve lyd/støj-fænomenet, fysikere og statistikere betvivler ikke støjfænomenets fraktale gennemsnitlighed, og mener endog at »al musik har samme blanding af tilfældighed og forudsigelighed som l/f støj« (citat R.F.Voss, fysiker og Mandelbrot's nærmeste medarbejder). Dette er lidt voldsomt til en enkelt artikel. Men hvis det ældgamle spørgsmål om musikkens 'mimesis' (hvis kunstarterne efterligner virkeligheden, hvad efterligner da musikken ?) måske kan besvares så enkelt: musik efterligner måden hvorpå vores verden ændrer sig i tid, er der i hvert fald stof til adskillige nye tankemodeller!

Noget i den retning må have foresvævet Ligeti, da han, der ellers ikke er forfalden til det hymniske, udnævnte 1980 ('Mandelbrot-mængdens' fødselsår) til 'et vendepunkt for musikken og kunsten'. Men han gør samtidig opmærksom på hvor barnligt det ville være at tro man kan 'fraktalisere' det musikalske fænomen ved at lave lydefterligninger af visuelle frak talbilleder. Han fastholder som altid at kunst er 'kunstig', at den er et fantasifoster uden 'virkelighedskorrelat. At den henter sine modeller i tankernes domæne snarere end i virkelighedens.

I det følgende vil jeg tale mere teknisk, nye læsere kan begynde og gamle stå af, for meningen er her at redegøre fagligt og detaljeret for et hjørne af sagen: at eksemplificere en tankemodels indvirkning på min egen musikalske teori og praksis. Dog mere teori end praksis, må jegerkende. At dissekere egne værk er har altid forekommet mig en smule uappetitligt, som at spytte i det vand man drikker ( - er der en psykolog til stede ?).

Siden "A Symphony in Time" (1982) har det grundlæggende tekniske problem i min musik været: hvordan koordinere, melodisk og især harmonisk, en musik med sig selv i flere eller endog mange forskellige tempi? (om baggrunden herfor har jeg bl.a. berettet i artiklen "Kan man høre tiden ?" som for nylig har været optrykt i DMT).

Den klassiske kontrapunktik kom ikke dette problem i møde, da den enten nedprioriterer det harmoniske stærkt, eller indretter sig efter det. Mine overvejelser blev snart suget mod den fraktale geometri med dens endeløse forstørrelse/formindskelse af ligedannede former, og kom af den vej uundgåeligt til en genovervejelse af Per Nørgårds 'uendelighedsrække' med dens samtidighed af ligedannede melodiske former i uendeligt mange forskellige tempi.

Ingen af disse modeller gav imidlertid uden videre næring til mine musikalske fantasifostre. Forsøg med at overføre den fraktale (rumlige) geometri til lyd faldt ud så j eg måtte erklære mig enig med Ligeti ( - »das wäre Kindisch !«); Nørgårds ligevægts-harmoniske struktur forekom mig ikke blot i overvældende grad at have sin ophavsmands signatur indgraveret, men var desuden med sine stadige fordoblinger (2:4:8,3:6:12,5:10:20 etc.) ikke beredt på at give mine (især 2:3 relaterede) tempolagdelinger husly, når jeg samtidig ønskede fuldstændig selv-similaritet.

Først i sommeren 1988 kom jeg problemets løsning adskilligt nærmere, hovedsageligt ved trial and error, da det lykkedes atkonstruere en selv-genererende'række' der var identisk med sig selv i forholdet 2:3 (en gammel kærlighed i min musik), samt i alle forstørrelser/ formindskelser af denne proportion. (Det bør dog straks understreges at selvom ordet 'række' anvendes, også i det følgende, er disse fraktale strukturer ikke 'rækker' i samme forstand som f.eks. tolvtonerækker. De udfolder et mønster, hvor tallene (her: tonerne) fuldt så vel kan repræsenteres af andre musikalske fænomener, af andre skalastrukturer, af akkorder, rytmer etc). Først noget senere gik det bagvedliggende matematiske princip op for mig ( -jeg har desværre altid følt mig af samme familie som Johs. V Jensen, der i »Som dreng skar jeg skibe« bekender at »for tal havde jeg ingen instinkter«....).

Lidt matematik:

Hvis et helt tal (d) går op i et andet (n), siges d at være divisor af n. Matematisk udtrykt: d er divisor af n hvis der findes et helt tal (p) der gør n = d gange p.

Divisorer kan simpelthen opfattes som koordinerede mødesteder (eller skæringspunkter) mellem regelmæssige, lineære talrækker (f.eks. 2-4- 6 -8-10-12 etc., 3- 6 -9- 12 -15 etc.), - i denne sammenhæng altså koordinerede mødesteder for forskellige tempi, (et tempo må nødvendigvis defineres af en sådan regelmæssig mindsteenhed, oftest kaldet puls ). Divisorerne betyder at disse 'mødesteder' kan defineres af fikserede proportioner (forholdstal). Således for eksempel: 2/3 = 4/6 = 6/9 = 8/12 = 10/15 = 14/21 etc.

Da talrækker naturligvis er uendelige, følger heraf muligheden for rækker hvor et forholdstal og dets uendelige divisorer fikseres til en bestemt relation (f.eks. et melodi-interval). At disse bliver 'uendelighedsrækker' følger af den kendsgerning at forholdstals-proportioner (så lidt som tal i det hele taget) har en øvre grænse. Proportionerne i en sådan række udgør således et selv-si-milært system: det stadig mindre har identitet med det stadig større.

Der er imidlertid tal som - foruden sig selv - kun har én divisor, nemlig de såkaldteprimtø/. Disse tal kan naturligvis ikke fungere som mødesteder, men de kan hver for sig igangsætte en ny divisor-række (f.eks. 7-14-21-28-35 etc.). (Se eks. 1).

Som det ses er melodien endeløst identisk med sig selv i alle tempi udtrykt i hele tal ( - her 1,2,3,4,5 o.s.v. ottendedele), hver tempoforekomst ttransponeret til sin begyndelsestone. Hvergang en beslutning tages (i.e. et interval fikseres til en divisor-proportion, respektive valget af en primtals-tone) får det 'uendelige' konsekvenser for rækkens fortsættelse, nemlig for alle proportionens divisorer. En sådan række må nødvendigvis Ttomponeres', da hvert nyt primtal kræver en beslutning, og der er måske det interessante ved den: den er kunst(ig). (- Jeg ser her bort fra at disse stadige "beslutninger' naturligvis kan underlægges én eller anden algoritmisk regelbundethed).

Fra et praktisk, musikalsk synspunkt giver strategien imidlertid to 'problemer' (eller muligheder): Notationsmæssigt fordres en fælles, mindste rytme-enhed, da der sker en simpel 'forrykning' af de enkelte divisor-(tempo)-rækker i forhold til én fælles enhed. De vil således kun med stor vanskelighed kunne noteres som 'irrationelle' rytmer. Tempo 3:5 således f.eks. som trioler mod femtendedele ! Hertil kommer at 'selv-similar-iteten' er ufuldkommen, ihvertfald når den fikserede relation er et melodi-interval. De enkelte divisor-rækker vil da nødvendigvis have forskellige toner som udgangspunkt, og således være transpositioner af hinanden. I modsat fald vil rækken naturligvis blive endeløs tonegentagelse.

Begge disse 'problemer1 kan 'løses' ved at operere med et fælles, om man vil fiktivt begyndelsespunkt, altså tallet 0.

Her (i eks. 2) er de Valgte' toner noteret som fjerdedele, deres "konsekvenser' som helnoder. 'Problemet' bliver nu at primtallene i en vis forstand 'falder ud af strukturen, idet deres divisor-rækker nødvendigvis bliver 'endeløs tonegentagelse' (se f.eks. tone 5-10-15-20-25, jvf. ovenfor, - noget som også ville kunne opfattes og udnyttes positivt). En matematisk logik der inddrager alle primtal er ikke mulig, da disse som bekendt optræder med en (stadig 'gådefuld') uberegnelig uregelmæssighed. Der er stadig ikke påvist nogen enkel regneregel der kan anvendes til at afgøre om et tal er et primtal. Selv i dag benyttes udregningen af om et tal med f.eks. ti decimaler er et primtal eller ej som målestok for en computers arbejdstempo, fortæller man mig.

Der findes imidlertid regelmæssige, lineære talrækker som 'opsuger' alle primtal, selvom de naturligvis ikke udelukkende består af primtal. Kombinationen af divisor-rækkerne 2:3 har således to sådanne pulseringer, begyndende på hhv. tallet l og tallet 5, og med 6 talpositioner som 'puls' eller 'bølgelængde'. Bemærk at tallet 25 ikke er et primtal.

Divisor-rækkerne 2:3:5 har har otte af disse pulseringer med en'bølgelængde'på 30 talpositioner, divisor-rækken 2:3:5:7 har 48 (!) med en 'bølgelængde' på 210 talpositioner. Ville man inddrage blot det næste primtal 11, ville - som det kan ses - antallet af pulseringer blive uoverskueligt stort, og deres bølgelængde overordentlig lang. Eksistensen af disse 'tomme'eller Trie' tempo-pulseringer giver umiddelbart mulighed for at oprette selv-similaritet, f.eks. ved simpelthen at lade dem give plads for en gentagelse af basisrækken.

Her (i eks. 4) er de valgte toner fjerdedele, basismelodiens gentagelse ('iteration') noteret som ottendedele. Altså hhv. 1-7-13-19-25 og 5-11-17-23-29. Øverst den enklest tænkelige udgave, nederst er omvending anvendt som variationsprincip i tempo 2 og 3. (Dette vil ikke overraske kendere af de geometriske fraktaler; allerede de såkaldte 'Koch-kurver' fra århundredets begyndelse er resultatet af stadig ret- og omvending af det rekursive element. En matematisk iteration som f.eks. 3*3-3 ^3 etc. danner ingen uforudsigelig cyklus, tallene går bare op og op. I "Metamagical Themas" forklarer Douglas Hofstadter: » Man har brug for en funktion med én eller anden form for switchback - a little zigzag or twist. En mere teknisk måde at sige det på er at man har brug for en ikke-monoton funktion: en funktion der begynder med at bevæge sig én vej - lad os sige opad - og så bøjer tilbage den anden vej - lad os sige nedad.«) Der opstår således en række der åbenlyst kvalificerer som 'uendelighedsrække', idet den kan genereres 'selvdan-nende', f.eks. ved hjælp af en computer-algoritme. Den vil hele tiden supplere sig selv med nye toner, og hver ny tone vil få kon sekvenser for alle divisorer i det uendelige tal-legeme.

Som det ses vil denne række kunne kombinere 'selv-similær identitet', altså ikke-transponerede pulseringer, med transposition (de Trie' pulseringer), og den vil kunne noteres 'irrationelt. Som 'pædagogisk' eksempel er her givet en selvgenererende uendelighedsrække indeholdende basistempo 2:3:4:5, men for klarhedens skyld uden brug af omvending. Den er dannet selv-si-milært i de otte 'tomme' 30-pulseringer (begyndende på tone 1 samt på alle primtal mellem 5 og 30 (7,11,13,17, 19,23,29). Begyndelsestonerne for de selv-similære 30-pulseringer er valgt frit, til gengæld anvender disse otte langsomme gentagelser af basisrækken omvendingen således: I,P,I,P,I,I,P,P (1= inversion, omvending: P= primær, retvending). For læselighedens skyld er valgt en diatonisk udformning. I rækkeudsnittet betegnerhelno-derne starten på hver 30-pulsering. Derefter (eks. 6) er vist hvordan eksempelvis 4 tempi (2,3,4,5) er "koordinerede' - alle tone-møder resulterer i enklang. Det samme ville være tilfældet i 'irrationel' rytmisk notation (fjerdedels-kvintoler, fjerdedele, halvnode-trioler, halvnoder, f.eks.). (Se eks. 5 og 6).

Antallet af koordinerede tempo-pulseringer er naturligvis ikke udtømt her, da alle basis-pulseringernes divisorer med tallegemets egen systematik indgår i mønstret, således altså 1,6,8,9,10,12,15 etc. uendeligt.

Der er her tale om den formentlig tættest mulige koordination af selvsimilære strukturer i de hele tals proportioner. Men det er samtidig klart at mønstret koordinerer alle forholdstal og deres divisorer. Forholdet 3/2 kan også kunne udtrykkes som 41/2 /3; 63/4 /4l/2; 101/8 763/4 etc. (svarende til 9/6, 27/18, 81/54 etc.).

Men Traktaliseringen' standser ikke her: enhver sammenkobling af én eller flere enkelt-melodier (enkeltstrukturer) til en ny Tælles-melodi' vil indeholde samme egenskaber som basis. I eksemplet herunder (eks. 7) er således de fire pulseringer i det foregående eksempel slået sammen til én melodi, og derefter endnu engang noteretud i de fire tempi (2:3:4:5). Som det ses opstår der endnu engang et melodisk-rytmisk tempomønster hvor alle mødesteder er koordinerede. Og så fremdeles.

P.g.a. divisorernes matematik vil i øvrigt alle regelmæssige pulseringer (bølgelængder') indeholde de samme Traktale' (om man vil: Tiierarkiske') egenskaber som basis-rækken, selvom de naturligvis ikke vil have similaritet med den.

Som et kuriosum med kærlig hilsen til denne tankemodels ophavsmand har jegi det følgende eksempel indsat Per Nørgårds uendelighedsrække i ret- og omvending i de to 'tomme' pulseringer. Det muliggør f.eks. en 'udgave' af "Rejsen ind i den Gyldne Skærm" med dette udseende, Nørgårds original øverst, dens omvending nederst, og 2:3 rækken i midten ( - bemærk endnu engang den fuldstændige koordination af tonesammenfald). (Se eks. 8 på næste side). Eksemplet påstår naturligvis ikke at være den 'autentiske' rejse længere ind i den gyldne skærm, men giver en anelse om den uendelige lagdelings fraktale dimensioner:

III

Eksistensen af de 'tomme' pulseringer, f.eks. de to 6-pulseringer i 2/3-rækken, betyder naturligvis modsætningsvis at den trokæiske (valse)rytme 2-1, begyndende på 2. 'slag7, lader sig Traktalisere' i proportionen 2:3 et uendeligt antal gange, uden at punkterne på den enkelte linie nogensinde vil falde sammen med punkterne (tonerne) i nogen anden linie. En melodi i denne rytme kan således 'skydes ind i sig selv' som russiske dukker et uendeligt antal gange, og danne stadigt nye melodier. (Som tidligere strejfet var der engang da rytmen 2-1 varenerådende, ogrytmen 1-1 var'utænkelig'. I den henseende er der ikke langt fra historiens 'notes inégales' til vor tids rytmiske musikformer).

I eksempel 9 på side 123 er Carl Nielsen's "Solen er så rød, mor" skudt ind i sig selv på denne måde; først 2 gange i relationen 2:3, hvorefter hele dette tre-stemmige kompleks er skudt ind i sig selv, endnu engang som 2:3. De enkelte melodier er transponeret til frit valgte udgangstoner, - det samlede rytmisk-melodiske resultat ('resultanten') ses nederst.

Også dette princip forekommer mig at være en 'u-barnlig' musikalsk/tidslig parallel til de geometriske fraktaler: fuldstændig uber egnelighed som resultat af fuldstændig (omend her transponeret) identitet. Den strukturelle identitet i sådanne melodi-fraktaler kan næppe siges at være mindre end i f.eks. Weberns rækker, men de perceptive muligheder synes indlysende større (da basis-melodien jo på ethvert givet tidspunkt vil kunne 'fremkaldes' overalt i melodi-fraktalen).

Morfologien i de ovenfor beskrevne række-strukturer vil tage sig meget forskelligt ud alt efter genereringens strategi, men på ét punkt er de afgørende forskellige fra Per Nørgård's 'uendelighedsrække': de rummer normalt ikke længere genkomster af tidligere Tormled (omend der ofte forekommer genkomster af 'motivisk' art). Om dette betyder variationsrigdom eller kaos må endnu engang afhænge af den musikalske tolkning, men det har givet mig lyst til at undersøge muligheden for den endelige uendelighedsrække, altså en række som gentager sig selv, men som alligevel deler divisorer med sig selv ( = er ^hierarkisk') hen over alle brudflader og gentagelser. Dette mærkelige fænomen, e t musikalsk 'pariserhjul', har jeg foreløbig kun fundet én 'udgave' af, og - hvad værre er - jeg har ikke haft held til at afdække det bagvedliggende princip ( - jeg ville være DMTs læsere taknemlig for hjælp med dette forehavende!). Her gives denne 2:3 række, der anvender omvending, er identisk med sig selv forfra og bagfra, og altså endeløst selvforstørrende/formindskende. (I eksemplet (10) er tempo 4:6:9 fremhævet ved ottendedel, fjerdedel ogbrevis).

Dette fører naturligt til et par bemærkninger om Per Nørgård's 'uendelighedsrække', der måske umiddelbart kunne tænkes at være et specialtilfælde af denne overordnede matematiske logik ( - Bernard Shaw: »I himlen er en engel ikke noget særligt !«). Denne række bevarer imidlertid så vidt jeg kan se en position som måske 'primus inter pares' ved at udnytte et princip der er uefterligneligt karakteristisk for den alene. Ved at forskyde en række der kun indeholder de lige tals divisorer (2,4,8, etc.) en enkelt talposition ( - måske kan man sige: ved at dele det eneste delelige primtal, nemlig 2), opnår den en slags kombination af de to tidligere beskrevne principper, af identitet og transposition, da mødestederne (divisor-rækkerne) i de to forskudte rækker naturligvis aldrig vil falde sammen.

Formuleringen viser imidlertid at denne indgang til Nørgård's række er udtryk for en anden tankemodel end hans egen: mens Nørgård's konstruktionsprincip har været det enkelte interval som generator for nye intervaller, ses det her at rækken kan fortsættes fra ethvert punkt ved at forstørre de eksisterende toner fra 'bølgelængde' l til 'bølgelængde' 2, transponere den til 2. tone og 'skyde' den ind i sig selv. Divisorernes logik realiserer automatisk den uendelige hierarkiske struktur! (Se eks. 11).

Den eksperimenterelystne vil hurtigt opdage at der er i alt fire forskellige muligheder for at gennemføre dette princip ( - og dermed, p.g.a. brugen af omvending, i alt8 forskellige 'Nørgård'ske' uendelighedsrækker). At Nørgård såvidtjegvedkunharbenyttetto (fire) af disse, er fra et musikalsk synspunkt meget forståeligt. Foruden den allerede viste drejer det sig om disse tre (eks. 12), hvor de to sidste er de af Nørgård anvendte. Alle fire (otte) rummer imidlertid alle de mangelagede fraktalt-hierarkiske egenskaber der vil være bekendte fra Nørgårds musikteori.

Dette stadig lige forunderlige princip, hvor transposition føjer sig på transposition i divisorernes uendelighed, og hvor en uendelig, passacaglia-lignende stor-form opstår, kan efterlignes i rækker med andre divisorer end de lige tal, men hvis sammenfaldende 'mødesteder' skal undgåes, må der anvendes kunstgreb, der utvivlsomt gør rækken til en 'bastard', men selvfølgelig ikke af den grund gør den uanvendelig til kunstneriske formål.

En hel kolonne af tankemodeller forekommer mig at myldre frem mellem fugerne i disse enkle konstruktioner. En primtallenes formlære, f.eks. ( - ville musikken måske kunne afsløre en hidtil skjult morforlogi, hvis man undersøger de 'tomme' bølgelængders storformale rytmik ?). Et cirklens kvadratur (!), eller i det mindste den 'linearitetens cirkularitet der opstår som følge af at langsommere pulseringer selvfølgelig når bestemte punkter senere end de hurtigere. Eksempel 6 afslører således en fuldstændig ABCBA-form (tk. 4,5,6 i tempo 2 = A, B og C; tk. 7-81/2 i tempo 3 = B; tk. 81/2-11 i tempo 5 = A), samtidig med at rækken bevæger sig uendeligt 'fremad'. Selv den allerenkleste 'fraktalisering' (hvor det musikalske grundelement f.eks. forstørres med én eller anden faktor og derefter 'skydes ind i sig selv' et tilsvarende antal gange) giver forbløffende uberegnelige resultater.